Suyuqlik va gaz mexanikasi xudoynazarov pdf

---

 

170 

   

-qarshi  ekanligini  bildiradi  (4.13,a-

rasm). Tezlik maksimal qiymatiga 

/2 da erishadi: u  = 2u  . 

A va B nuqtalarda (

bu nuqtalar kritik nuqtalar hisoblanadi. Bir jinsli oqimda joylashgan manba 

(oval markazidan chapga a masofadagi nuqtada) va manfiy manba (xuddi 

Renkin ovali atrofidan aylanib potensial oqish 

b-rasm). 

 

 

a                                                   b 

4.13-rasm. Silindr (a) va oval (b) atrofida aylanib oqishda  

 

 

Oqimning ixtiyoriy P(x,y) nuqtasidagi tezlik oqimdagi manba va man-

fiy manbalar uchun quyidagi ifodalarni chiqarish bilan topiladi (

=1): 

; 

. 

 

Quyida qaraladigan 

usul  tekis  oqimlarni  tahlil  qilishda  samarali  usullardan  biri  hisoblanadi. 

Yuqorida olingan (4.17)   Koshi-

x  va  y 

  va    funksiyalarning 

y

x

i

y

x

,

,

  -  kompleks  kombinatsiyasi 

  kompleks 

W=W(z

mavjudki,  uning  haqiqiy  va  mavhum  qismlari  mos  ravishda    va    

 

W=

. 

---

 

171 

Berilgan biror nuqtada W(z) funksiya analitik funksiya deyiladi, agar u 

  W(z)  funksiya  kompleks  potensial  deb  ataladi. 

nazariyasi  klassik  matematikada  juda  rivojlangan  hisoblanadi.  Shuning 

tlarni o quv darsliklaridan olish maqsadga muvofiq. 

  kompleks  potensialdan 

 

 

.                            (4.39) 

Bu ifoda kompleks tezlik deb ataladi. Bu miqdorning moduli tezlikning 

 

.                                 (4.40) 

3-masala. 

 kompleks potensial uchun tezlik potensialini, oqim 

funksiyasini va harakat xarakterini aniqlang, bunda a   biror haqiqiy son. 

Yechish. 

 va 

 ekanligini e'tiborga olib, quyidagini 

yozamiz: 

. 

Buni haqiqiy va mavhim qismlarga ajratsak, 

  va  

. 

Bunday  oqim  2-

 

Kompleks tezlikni topamiz: 

;     

;     

; 

; 

, 

 

tezlik bilan harakat qiladi.  

Konform akslantirishlar. Akslantirilayotgan shakl ichidagi ixtiyoriy 

akslantirishlar  konform  akslantirishlar  yoki  almashtirishlar  deb  ataladi. 

---

 

172 

Konform  akslantirishlar  suyuqlik  va  gaz 

B

z  tekislikda 

biror (A

 

(4.14-rasm).  Bu  amalning  bajarilishi  uchun  quyidagi  shartning  bajarilishi 

zarur:    va  z 

  =  f(z)  munosabat 

akslantiruvchi funksiya deb ataladi. 

A  konturning  ixtiyoriy 

nuqtasi  sifatida  berilgan,  masalan  1,  nuqtada  z

1

  ni  hisoblab,  bu  qiymatni 

 

1

 qiymatni topish mumkin 

va bu   

hokazo  nuqtalar  uchun  2',  3',  ...  larni  topamiz.  Natijada    tekislikda  B 

kontur

A  kontur  B  konturga  akslantirildi.  Bunday 

akslantirishni  konform  akslantirish  deb  atash  qabul  qilingan.  Kompleks 

  '(z)  hosilaning 

xarakterlaydi,  uning  argumenti  esa  radius-vektorning  burilish  burchagini 

aniqlaydi.  

Bunda analitik funksiya yordamida amalga oshirilayotgan akslantirish 

akslantirayotgan funksiyaning hosilasi noldan farqli barcha nuqtalarda bu 

burchaklarn

mumkin?  

-

kuchini aniqlashdan iborat. Buning uchun qanot atrofida aylanib oquvchi 

oqimning har bir nuqtasida zarrachalarning tezliklarini bilish zarur. 

Qanotli profil yetarlicha murakkab shakl va nazariy jihardan bundagi 

tezliklarni hisoblashning 

silindr uchun bu masala osongina yechiladi. Shuning uchun qanotli profil 

atrofidan  aylanib  oqish  masalasini  silindr  atrofidan  aylanib  oqish 

uni 

konform akslantirish bilan amalga oshirish mumkin. 

4.15-rasmni  qaraylik,  bunda  chapdagi  shtrixlangan  (profilning 

konform  aksaltirish  bilan  profil  atrofidan  aylanib  oqish  masalasi  silindr 

atrofidan aylanib oqish masalasiga keltiriladi. 

Silindrning ixtiyoriy nuqtasidagi tezlikni hisoblab, teskari akslantirish 

yordamida  profilning  mos  nuqtasidagi  tezlikni  topish  mumkin.  Konform 

akslantirishning  qaralayotgan  masalasida  aniq  shartlar  bilan  talab 

---

 

173 

qilinayotgan  akslantiruvchi  funksiyani  topish  masalasi  alohida  masaladir. 

Yuqorida  qaralgan  masalaning  yechimi  N.E.Jukovskiy  tomonidan 

topilgan, akslantiruvchi funksiya  

                                               (4.41) 

ko

Jukovskiy funksiyasi deb ataladi.

 

 

 

4.14-rasm. Konform akslantirish 

sxemasi. 

 

4.15-rasm. Profil atrofidan 

aylanib oqish masalasini silindr 

atrofida aylanib oqish 

masalasiga akslantirish sxemasi. 

 

 

 

Namunaviy masalalar va ularning yechimlari 

 

1-masala.Ushbu 

 

tezlik proeksiya-

lari  bilan  berilgan  suyuqlik  oqimidagi  A(x,0)  va  B(0,y)  koordinatali 

nuqtalarni  tutashtiruvchi  K 

hisoblang, bunda a   

 

Yechish. Biror K 

 

 = 

 

chiziqli  integralga  aytiladi,  bunda 

  -  ikkita    va 

 

 

Uyurmasiz  oqimda  tezlik  sirkulyatsiyasini  tezlik  potensiali  orqali 

ifodalash mumkin, chunki 

 

 = 

 , 

bunda 

 - potensial  funksiyaning qaralayotgan kontur chetlaridagi 

statsionar, 

 

 - oqim tezligini hisoblab,   - tezlik potensialini aniqlash 

---

 

174 

mumkin,  bunda  r    mos  nuqtaning  qutb  radiusi; 

  burchak  esa 

 munosabatdan topiladi. Bu yerdan kelib chiqadiki,   tezlik 

vektori nuqtaning qutb radiusiga perpendikulyar.  

Shunday qilib,  

. 

Bu  yerdagi  oxirgi  tenglamani  integrallab,  funksiya  potensialini  topamiz: 

.  Uning  bu  qiymatiga   

  oqim  funksiyasi  mos  keladi.  Bu 

yerdan  oqim  chiziqlari  tenglamasini  topamiz: 

.  Bu 

r = C 

 

Endi tezlik sirkulyatsiyasini hisoblaylik: 

=

. 

 

 = 

. 

Shuning uchun 

 

sirkulyatsiyag

r  =  0) 

mavjudligini  bildiradi.  Bunda  uyurma  ipidan  tashqarida  esa  oqish 

uyurmasizdir. 

2-masala. 

 tezlik  potensiali bilan aniqlanuvchi  harakat 

uchun  A(x

1

=0;  y

1

=0)    va    B(x

1

=1;  y

1

=1)    nuqtalarni 

chiziq kesmasi orqali suyuqlik sarfini hisoblang. 

Yechish. Siqilmaydigan suyuqlik uchun   tezlik potensiali va   oqim 

oqim  uchun  oqim  funksiyasining  quyidagi  qiymatini  topamiz: 

.  Bunga 

 

integrallasak, 

.  Ixtiyoriy  c(x)  funksiyani  aniqlash 

bilan 

  hosilaning  qiymatlarini  taqqoslaymiz.  Natijada 

 

ekanligi va bu yerdan esa c(x)=const ekanligi kelib chiqadi. Shunday qilib, 

berilgan  oqish  uchun 

const

y

x

y

)

3

(

2

2

  ekan.  AB  chiziq  orqali 

---

 

175 

suyuqlik  sarfi  oqim  funksiyasining  chiziq  oxirgi  nuqtalaridagi  qiymatlari 

farqidan topiladi, ya ni  

. 

3-masala.  Tekis  siqilmaydigan  suyuqlik  oqimida  tezlikning  tashkil 

etuvchilari  ushbu 

  tenglamalar  bilan  berilgan 

.  Oqim  funksiyasining  ifodasini  toping.  Potensial  oqimda  tezliklar 

potensiali ifodasini oling. 

Yechish. 

 

. 

Bu yerda birinchi tenglamadan quyidagini topamiz: 

. 

x  =  0,  y  =  0 

 

  ekanligidan  C  =  0  va 

.  

f(x) funksiyani quyidagi shartdan topamiz : 

. 

Demak, 

. Shunday qilib,  

. 

Suyuqlik  harakatining  xarakterini  aniqlash  uchun  tezlik  rotorining 

(uyurmaning) 

  tashkil  etuvchisini  topish  lozim. 

Ma lumki,   

  ekanligidan 

,  ya ni  suyuqlik  oqimi 

potensial ekan. Potensial oqim uchun 

 ekanligidan  

. 

Xuddi yuqoridagidek, x = 0, y 

 ekanligidan C

1

=0 

va 

. Endi esa 

 ekanligi- 

dan 

  va tezlik potensiali  

 topiladi. 

 

4-masala. Kompleks potensial ushbu 

z

i

z

r

z

U

z

W

o

ln

2

)

/

(

)

(

2

                              (4.42) 

---

 

176 

  oqimlarning 

Bu funksiyadan har bir bunday kompleks potensialni ajrating va oqimning 

xarakterini aniqlang. 

Yechish. 

 

. 

potensialini  ifodalaydi: 

, 

, 

.  Ushbu 

  kompleks  potensial  bilan  ifodalanuvchi  oqimni  qaraylik. 

 

=U(x+iy

.  Bu  oqim 

uchun  oqim  chiziqlari  tenglamasi 

 

 

kompleks  potensial  uchun  Ox 

U  tezlik  bilan  ilgarilanma 

harakatlanayotgan oqimni ifodalaydi (4.16,a-rasm). 

 kompleks potensial esa koordinatalar boshida joylashgan 

dipoldan  tarqalayotgan  oqimni  ifodalaydi.  Bu  dipolning  momenti 

quyidagicha: 

 (4.16,b-rasm). Dipolning tezliklari potensiali va 

oqim funksiyasi quyidagicha:   

; 

. 

 

 

   a)                         b)                              c) 

4.16-

 

a) ilgarilanma oqish; b) dipoldan oqish; c) sirkulyatsion oqish. 

 

Uchinchi 

  kompleks  potensial  koordinatalar  boshida 

  sirkulyatsion  oqimni 

ifodalaydi (4.16,c-rasm).  

---

 

177 

Tekis  potensial  uyurma    bu  shunday  statsionar  tekis  uyurmasiz 

harakatki,  bunda  suyuqlik  zarrachalari  markaziy  nuqta  (uyurma  markazi) 

harakardir. Bunga mos keluvchi tezliklar potensialini va oqim funksiyasini 

topish  uchun 

  ning  ifodasida 

  almashtirish  olib,  uni 

=

 kabi yozamiz.  

Shunday qilib,  

=

;    

=

 

Bu  holda 

=const  tenglama  bilan  ifodalanuvchi  oqim 

  aylanalarni 

ekanligini bildiradi. 

5-masala.  Potensial  oqim  ushbu    =  -exp(x

2

-y

2

)cos(2xy)  ifoda  bilan 

paketi yordamida tahlil qiling. 

Yechish. 

potensial suyrilikni ifodalovchi Laplas tenglamasining quyidagi 

x = 0  da  u = - / x = 0    va    y = 0  da  v = - / y = 0 

chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechinidan iborat. 

Buning  Maple  matematik  paketi  yordamidagi  ketma-ket  tahlilini 

amalga  oshirib  borish  bilan  bu  jarayonning  fizik  xossalarini  kengroq 

tushunib  boramiz.  Avvalo   

komponentalarini,  oqim  tezligi  modulini  hisoblash  komandalarini  ketma-

ket yozamiz: 

> phi:=-exp(x^2-y^2)*cos(2*x*y); 

 

> U:=-diff(phi,x);  

 := 

U

2 x e

(

)

x2

y2

(

)

cos 2 x y

2 e

(

)

x2

y2

(

)

sin 2 x y y

 

> V:=-diff(phi,y); 

 

> q:=sqrt(U^2+V^2); 

 

---

 

178 

> simplify(%); 

 

> diff(U,x)+diff(V,y); 

 

Bu  oxirgi  komanda  berilgan 

  funksiya  ifodasining  Laplas 

tenglamasini  qanoat

holda jarayonning   oqim chiziqlarini hamda oqim tezligi moduli  q ning 

taqsimotini qurish mumkin. 

> psi:=int(U,y); 

 

> with(plots): 

> contourplot(exp(x^2-y^2)*sin(2*x*y),x=-3..3,y=0..0.5, grid=[15,15], 

contours=[0.05,0.1,0.2,0.4,0.6,0.8,1,2,4,8,10,12], numpoints=4000); 

> contourplot(exp(x^2-y^2)*abs(sin(2*x*y)),x=-2.5..2.5, y=0..0.5, 

grid=[15,15], 

contours=[0.05,0.1,0.2,0.4,0.6,0.8,1,2,4,8,10,12],numpoints=4000); 

 

> a:=diff(psi,y); 

 

> simplify(%); 

 

 

 

4.17-rasm. Deformatsiyalanmay-

potensial suyrilikning oqim 

chiziqlari taqsimoti. 

 

4.18-rasm. Tekislikda yassi 

potensial sharrachaning  

oqim chiziqlari taqsimoti. 

---

 

179 

 

 

 

> contourplot(2*sqrt(exp(2*(x^2-

y^2)*(x^2+y^2))),x=-

1.5..1.5,y=0..1.5, 

grid=[15,15],contours= 

[0.05,0.1,0.2,0.4,0.6,0.8,1,1.5], 

numpoints=4000); 

 

-

laymizki,  olingan  yechim  ushbu 

x 3,  y<0,5  cheklangan  sohadagina 

-rasm). 

 

 4.19-rasm. Tekislikdagi yassi 

potensial sharrachaning oqimida 

oqim tezliklari modullarining (q) 

qiymatlariga teng chiziqlar taqsimoti: 

1 - q=0.05; 2 - q=0.1; 3 - q=0.2; 4 - q=0.4; 5 - q=0.6;  6 - q=0.8; 7 - q=1.0; 

8 - q=1.5. 

 

Topshiriqlar 

 

1. Siqilmaydigan ideal suyuqlikning statsionar oqimida doiraviy silindrning 

sirkulyatsion  suyriligini  ifodalovchi  ushbu 

 

kompleks potensial uchun natijaviy oqimning tezlik potensialini va oqim 

funksiyasini  toping.  Aylanib  oqayotgan  konturning  tenglamasini 

chiqaring

(4-namunaviy masala yechimidan foydalaning). 

2.  Harakat 

  kompleks  poten-

sial  bilan  aniqlanadi. 

  tenglama  bilan  aniqlanuvchi  aylana 

orqali  suyuqlik  s

ylab    tezlik 

sirkulyatsiyasini toping. 

3.  Siqilmaydigan  ideal  suyuqlikning  statsionar  oqimida  doiraviy  silindr-

ning  sirkulyatsion  suyriligini  ifodalovchi 

 

 

- kompleks porensialga  mos [-a,a]  kesmada plastinkaning 

suyriligini ifodalovchi ushbu 

 

)

ln(

2

2

2

a

z

z

i

  kompleks  potensial  uchun  oqimning  tezlik  poten-

---

 

180 

sialini  va  oqim  funksiyasini  toping.  Aylanib  oqayotgan  konturning 

tenglamasini  chiqaring,  hamda  shu 

taqsimotini toping (4-namunaviy masala yechimidan foydalaning). 

4. Siqilmaydigan ideal suyuqlikning statsionar oqimida a va b yarim o qli 

ellipsning suyriligini ifodalovchi ushbu  

  

kompleks  potensial  uchun  oqimning  tezlik  potensialini  va  oqim 

funksiyasini  toping.  Aylanib  oqayotgan  konturning  tenglamasini 

hamda  elliptik  silindrga  ta'sir  etayotgan  kuch  momentini  toping  (4-

namunaviy masala yechimidan foydalaning). 

 

Sinov savollari 

 

1.  Potensial  oqim  va  ularni  ustma-

tushunasiz? 

2.  Potensial oqimni hisoblashning qanday usullarini bilasiz? 

3.  Manma va manfiy manba uchun oqim funksiyasi qanday ifodalanadi? 

4.  Doiraviy  silindr  atrofidan  nosirkulyatsion  aylanib  oqish  masalasini 

tushuntiring.  

5.  Renkin ovali nima? 

6.  Superpozitsiya usulining g oyasini tushuntiring. 

7.  Potensial harakatda kritik nuqtalarni qanday tushunasiz? 

8.  Dipol deb nimaga aytiladi? 

9.  Ideal  suyuqlik  oqim

 

10.  Konform akslantirish nima?  

11.  Akslantiruvchi funksiya deb nimaga aytiladi? 

12.  Jukovskiy funksiyasi va oqim turlarini tushuntiring.