Суть метода трапеций

Абсолютная погрешность метода трапеций оценивается как
.
К началу страницы
Графическая иллюстрация метода трапеций.
Приведем графическую иллюстрацию метода трапеций:

К началу страницы
Примеры приближенного вычисления определенных интегралов методом трапеций.
Разберем на примерах применение метода трапеций при приближенном вычислении определенных интегралов.
В основном встречаются две разновидности заданий:

• 
  либо вычислить определенный интеграл методом трапеций для данного числа разбиения отрезка n,
  
• 
  либо найти приближенное значение определенного интеграла с требуемой точностью.
  

Следует заметить, что при заданном n промежуточные вычисления следует проводить с достаточной степенью точности, причем, чем больше n, тем выше должна быть точность вычислений.
Если требуется вычислить определенный интеграл с заданной точностью, к примеру, до 0.01, то промежуточные вычисления рекомендуем проводить на два-три порядка точнее, то есть, до 0.0001 - 0.00001. Если указанная точность достигается при больших n, то промежуточные вычисления следует проводить с еще более высокой точностью.
Для примера возьмем определенный интеграл, значение которого мы можем вычислить по формуле Ньютона-Лейбница, чтобы можно было сравнивать этот результат с приближенным значением, полученным по методу трапеций.
Итак,  .
Пример.
Вычислить определенный интеграл  методом трапеций для n = 10.
Решение.
Формула метода трапеций имеет вид  . То есть, для ее применения нам достаточно вычислить шаг h по формуле  , определить узлы  и вычислить соответствующие значения подынтегральной функции  .
Вычислим шаг разбиения:  .
Определяем узлы  и вычисляем значения подынтегральной функции в них (будем брать четыре знака после запятой):

Результаты вычислений для удобства представляем в виде таблицы:

Подставляем их в формулу метода трапеций:

Полученное значение совпадает до сотых со значением, вычисленным по формуле Ньютона-Лейбница.
Пример.
Вычислите определенный интеграл  методом трапеций с точностью до 0.01.
Решение.
Что мы имеем из условия: a = 1; b = 2;  .
В этом случае первым делом находим количество точек разбиения отрезка интегрирования, то есть n. Мы это можем сделать, используя неравенство для оценки абсолютной погрешности  . Таким образом, если мы найдем n, для которых будет выполняться неравенство  , то формула трапеций при данных n даст нам приближенное значение определенного интеграла с требуемой точностью.
Найдем сначала наибольшее значение модуля второй производной функции на отрезке [1; 2].

Вторая производная функции является квадратичной параболой  , мы знаем из ее свойств, что она положительная и возрастающая на отрезке [1; 2], поэтому  . Как видите, в нашем примере процесс нахождения  достаточно прост. В более сложных случаях обращайтесь к разделу наибольшее и наименьшее значение функции. Если же найти  очень сложно, то после этого примера мы приведем альтернативный метод действий.
Вернемся к нашему неравенству  и подставим в него полученное значение:

Так как n – число натуральное (n - количество элементарных интервалов, на которые разбивается отрезок интегрирования), то можно брать n = 6, 7, 8, ...Возьмем n = 6. Это позволит нам достичь требуемой точности метода трапеций при минимуме расчетов (хотя для нашего случая при n = 10 производить вычисления вручную удобнее).
Итак, n найдено, теперь действуем как в предыдущем примере.
Вычисляем шаг:  .
Находим узлы сетки  и значения подынтегральной функции в них:

Занесем в таблицу результаты расчетов:

Подставляем полученные результаты в формулу трапеций:

Вычислим исходный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница, чтобы сравнить значения: 
Следовательно, требуемая точность достигнута.
Следует отметить, что нахождение числа n из неравенства для оценки абсолютной погрешности является не очень простой процедурой, особенно для подынтегральных функций сложного вида. Поэтому логично прибегнуть к следующему методу.
Приближенное значение определенного интеграла, полученное по методу трапеций для n узлов, будем обозначать  .
Выбираем произвольно число n, например n = 10. Вычисляем по формуле метода трапеций исходный интеграл для n = 10 и для удвоенного числа узлов, то есть, для n = 20. Находим абсолютную величину разности двух полученных приближенных значений  . Если она меньше требуемой точности  , то прекращаем вычисления и в качестве приближенного значения определенного интеграла берем значение  , предварительно округлив его до требуемого порядка точности. В противном случае удваиваем количество узлов (берем n = 40) и повторяем действия.
Этот способ подразумевает большой объем вычислительной работы, поэтому разумно использовать вычислительную технику.
Разберем этот алгоритм на примере. Промежуточные вычисления метода трапеций будем опускать.
Пример.
Вычислите определенный интеграл  методом трапеций с точностью до одной тысячной.
Решение.
Возьмем n = 10 и по формуле трапеций получим  .
Для n = 20 имеем  . В этом случае  , поэтому продолжаем процесс.
Для n = 40 получим  . Получаем  . Идем дальше.
Для n = 80 имеем  и  . Опять удваиваем число узлов.
Для n = 160 имеем  и  .
Следовательно, округлив  до тысячных, получим приближенное значение исходного интеграла  .
Вычислим исходный определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница для сравнения резульатов:  . (Первообразная была найдена методом интегрирования по частям).
Как видите, требуемая точность достигнута.
К началу страницы