Statistik model va etarli statistikalar

2.2-§. To‘liq bo‘lmagan ma’lumotlar modellari uchun minimal etarli statistikalar va ularning to‘liqliligi

Biz oldingi 2.1-§ da to‘liq tanlanma bo‘yicha etarli statistikaning to‘liq bo‘lishligi shartlari, minimal etarli statistika tushunchasi va ular orqali Leman-SHeffening minimal etarli statistika orqali eng kichik dispersiyaga ega bo‘lgan yagona siljimagan baho qurish haqidagi da’volari bilan tanishib chiqdik. Biz ushbu paragrafda aynan mana shu tushunchalarning statistik tanlanmalar senzurlangan holida, ya’ni statistik ma’lumotlarning bir qismi yo‘qotilganida ko‘rib o‘tamiz.

Ushbu paragrafda biz parametrik va noparametrik hollarni umumlashtirgan holda statistik modelni qaraymiz. Biror statistika yaratgan statistik modelni esa uchlik orqali belgilaymiz.
Quyida da’vo isboti to‘g‘ridan-to‘g‘ri to‘liqlilik ta’rifidan kelib chiqadi.
2.2.1-Teorema. Agar tanlanma taqsimotlar oilasiga nisbatan to‘liq bo‘lsa, u holda statistika taqsimotlar oilasiga nisbatan to‘liq bo‘ladi.
Isboti. ning ga nisbatan va ning ga nisbatan to‘liqligini quyidagi tengliklarni bajarilishlari bilan aniqlaymiz:


ekanidan uchun va

o‘z navbatida bundan

ekanidan uchun

tenglik kelib chiqishi kerak. Haqiqatan, uchun

.
U holda

Ammo to‘liqligidan . Teorema isbotlandi.

Bu teoremani qo‘llash uchun tanlanmadan variatsion qator tuzamiz. Agar orqali ning zichlik funksiyasini belgilasak, u holda 1.2-§ dan ma’lumki, vektor statistikaning birgalikdagi taqsimoti ning zichlik funksiyasi

bo‘lib, to‘liq va etarli statistikadir. Biz endi o‘ng tomondan II-tur senzurlanish modelini qaraymiz. Unda faqat birinchi ta varianta kuzatilib, qolgan tasi lar tashlab yuboriladi. statistikaga mos kelgan taqsimot zichligi

ko‘rinishda bo‘ladi. Bu erda orqali ning taqsimot funksiyasi belgilangan. 2.2.1-teoremadan quyidagi natijani olamiz.

2.2.1-Natija. vektor statistika oilaga nisbatan to‘liq etarli statistika va demak minimal etarli ekan.
Endi o‘ng tomondan I-tur senzurlanish modelini ko‘rib o‘tamiz. Bu statistik modelga asosan tanlanmaning berilgan sonidan kichik yoki tenglarni kuzatiladi va undan kattalari esa yo‘qotiladi.
Biz dan kichik yoki teng lar sonini

bilan belgilab ulardan hajmi bo‘lgan

variatsion qatorni tuzib olamiz. Demak, kuzatilayotgan tanlanma statistikadan iborat bo‘lib, uning taqsimoti zichligi

2.2.2-Natija. statistika oilaga nisbatan to‘liq etarli statistika va demak minimal etarli bo‘ladi.