|
2-BOB. MINIMAL ETARLI VA TO‘LIQ STATISTIKALAR.
2.1-§. Minimal etarli statistika.To‘liqlilik tushunchasi.
Etarli statistikaning muhim xossalaridan biri minimallikdir. Ma’lumki, etarli statistika taqsimot haqidagi ma’lumotni kamaytirmagan holda tanlanma ma’lumotni kamaytirish imkonini berar ekan. Ammo har bir taqsimotlar oilasi uchun etarli statistikalar yagona bo‘lmasligi mumkin. Bunday holda ulardan qaysi birini tanlash kerak degan savol tug‘ilishi tabiiydir. Albatta, bu holda tanlanmani eng ko‘p qisqartirish imkonini beruvchi etarli statistikani tanlash lozimdir. statistika oila uchun etarli statistika bo‘lsin. U holda ixtiyoriy - statistika zaruriy statistika deb ataladi. Umuman, zaruriy statistika parametr haqidagi butun ma’lumotga ega bo‘lmasligi, ya’ni etarli statistika bo‘lmasligi mumkin.
2.1.1-Ta’rif. Agar zaruriy va etarli statistika bo‘lsa, u minimal etarli statistikadeb ataladi.
Demak, - minimal etarli statistika bo‘lsa, u holda u tanlanma ma’lumotlarni mumkin qadar ko‘p qisqartirish imkonini berar ekan.
Biz minimal etarli statistikani aniqlashning bir usulini ko‘rib o‘tamiz. Ixtiyoriy statistika, xususan etarli statistika tanlanma fazoni ekvivalentlik sinflariga, ya’ni qiymatlari bir-xil bo‘lgan nuqtalar to‘plamiga bo‘linishni tashkil etadi. Agar bo‘lsa, u holda ning ekvivalentlik sinflari ning ekvivalentlik sinflari ichida yotadi. Demak, minimal etarli statistikaga mos kelgan bo‘linish etarli statistikalar hosil qilgan bo‘linishlarning eng kattasi bo‘ladi. nuqtani o‘z ichiga oluvchi ekvivalentlik sinfini orqali belgilaymiz. sinflarga bo‘linishni etarli bo‘linish deymiz, agar
tenglik o‘rinli bo‘lib, bu erda nuqta uchun tenglik bajarilsa. Demak, etarli statistikaga etarli bo‘linish mos kelar ekan. Endi ni quyidagicha tuzib olamiz: deb olamiz, agar nisbat ga bog‘liq bo‘lmasa:
.
Agar bo‘lsa, u holda . Quyidagi teoremani isbotsiz keltiramiz.
2.1.1-Teorema [5]. Agar statistik qiymatlari da bo‘lgan biror etarli statistika bo‘lib,
bo‘lsa, u holda minimal etarli statistika bo‘ladi.
Misollar. 1) statistik modelda -binomial taqsimot bo‘lsin, ,
.
Bu model uchun quyidagi statistikalar faktorlashtirish kriteriysiga asosan etarli bo‘ladi.
.
Bu etarli statistikalardan minimal etarli bo‘ladi. CHunki
nisbat faqat bo‘lgandagina ga bog‘liq emas. Bu holda
2) Koshi taqsimoti zichligi
.
Oldingi paragrafdan ma’lumki, ixtiyoriy taqsimot va demak Koshi taqsimoti uchun ham - tanlanma va variatsion qatorlar etarli statistika bo‘ladi. Xususan, agar bu taqsimot simmetrik, ya’ni bo‘lsa, u holda faktorlashtirish teoremasiga ko‘ra
va demak ham etarli bo‘ladi.
Ammo
nisbat faqatgina va nuqtalar bir-biridan faqatgina mos koordinatalari ustma-ust tushganidagina ga bog‘liq bo‘lmaydi.
Demak, etarli statistika ekan. Etarli statistikalarning to‘lalik xossalari ham o‘ta muhimdir.
2.1.2-Ta’rif [3,5]. o‘lchovli fazoda aniqlangan taqsimotlar oilasi to‘liq deb ataladi, agar ixtiyoriy -o‘lchovli funksiya uchun
(2.1.1)
tenglikdan ga nisbatan deyarli hamma erda ekanligi kelib chiqsa.
2.1.3-Ta’rif. [5]. statistik modelda aniqlangan statistika to‘liq deb ataladi, agar u yaratgan
taqsimotlar oilasi to‘liq bo‘lsa.
Misol. Binomial taqsimotni qaraymiz. U uchun statistika etarlidir. ning taqsimoti Bernulli taqsimotidir:
uchun (2.1.1) integral tenglama quyidagidan iboart bo‘ladi:
.
Bu tenglamaning chap tomonida darajasi dan oshmagan ning ko‘pxadidan iborat. Bu ko‘pxad kupi bilan ta turli echimlardan iborat. Ammo bu tenglik ixtiyoriy uchun o‘rinli bo‘lishini talab etilmoqda. Demak, buning uchun faqat bo‘lishi zarur. Demak, Bernulli taqsimoti to‘liq va unga mos kelgan etarli statistika ham to‘liq bo‘ladi.
Endi to‘liq va minimal etarli statistikalar orasidagi bog‘liqlikni ko‘rsatuvchi da’voni keltiramiz.
2.1.2-Teorema [3,5]. statistika oila uchun etarli statistika bo‘lib, oila to‘liq bo‘lsin. U holda minimal etarli statistika bo‘ladi.
Demak, etarli statistikaning to‘liqligi uning minimal etarli ekanligini ham anglatar ekan.
Endi umumlashgan zichlik funksiyasi
, (2.1.2)
ko‘rinishda berilgan eksponensial statistik model ni qaraylik. Bundan tanlanmaga mos zichlik funksiya
bo‘lib, bu erda va . Faktorlashtirish teoremasiga asosan statistika etarli bo‘ladi. Eslatib o‘tamiz, (2.1.2) oilaga normal, ko‘rsatkichli kabi uzluksiz va binomial va Puasson kabi diskret taqsimotlar misol bo‘la oladi.
[3;5] dan ma’lumki, va parametrik fazo -o‘lchovlik paralleelepipedni o‘z ichiga olsa, u holda statistika mukammal va demak minimal etarli statistika ham bo‘ladi.
To‘liq etarli statistikalar eng kichik dispersiyaga ega bo‘lgan siljimagan baholarni qurish imkoniyatini beradi.
Leman-SHeffe [7] teoremasi to‘liq etarli statistika yordamida eng kichik kvadratik riskka ega bo‘lgan yagona siljimagan bahoni qurish imkoniyatini beradi. Agar - to‘liq etarli statistika (ya’ni minimal etarli statistika) bo‘lib, baho funksiya uchun siljimagan baho bo‘lsa , u holda Leman-SHeffe teoremasiga asosan shartli matematik kutilmadan iborat bo‘lgan
yangi baho uchun ga nisbatan tekis ravishda eng kichik minimal kvadratik tarqoqlikka ega bo‘lgan yagona siljimagan baho bo‘ladi. Ma’lumki, bir o‘lchovlik funksiya bo‘lgan holda bu kvadratik tarqoqlik dispersiyadan iborat bo‘ladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
