Способы решения функциональных уравнений

Пример 4.4.3 Найти функцию f, определенную при , удовлетворяющую уравнению


(4.4.7)


Решение. Решаем матричное уравнение


AХ = В,

где ; .

Для матрицы A обратной является матрица .
Тогда .
Матрица X имеет вид , поэтому применим к уравнению (4.4.7) подстановку . Последнюю удобно выполнять с помощью матриц. Правой части уравнения (4.4.7) соответствует матрица . Применение к ней подстановки равносильно умножению справа на . В результате получим . Таким образом, из уравнения (4.4.7) находим


(4.4.8)

Исключив из системы, составленной из уравнений (4.4.7) и (4.4.8) имеем

(4.4.9)

Из (4.4.7) видим, что . Подстановка сохранила эти ограничения. Кроме того, .

Положим


.

Так как , то . Отсюда

.

Заменяя , из (4.4.9) получим

.

Проверка показывает, что эта функция удовлетворяет условию задачи:

4.5 Применение элементов математического анализа к решению функциональных уравнений

4.5.1 Предельный переход

Идею предельного перехода проиллюстрируем на следующих примерах.
Пример 4.5.1.1 Решить в классе непрерывных функций уравнение


(4.5.1.1)

где х R.

Решение. Заменив х на , получим


(4.5.1.2)

Используя ту же замену, из уравнения (4.5.1.2) последовательно получим

,

Методом математической индукции можно доказать, что

(4.5.1.3)

Сложив все уравнения, начиная с (4.5.1.2), получим

(4.5.1.4)

Так как функция f(х) непрерывна, то при любом фиксированном х

Здесь .
Из (4.5.1.1) . Тогда

Левая часть равенства (4.5.1.4) не зависит от n, поэтому существует ее предел при n → ∞. Переходя к пределу в равенстве (4.5.1.4), при n → ∞ имеем

(4.5.1.5)

Правая часть (4.5.1.5) является суммой трех бесконечно убывающих прогрессий

Итак,

,

что и подтверждается проверкой.

Пример 4.5.1.2 Функция f: R→R непрерывна в точке 0 и для любого x R выполнено равенство


2f(2x) = f(x)+x.

Найти все такие f.

Решение. Пусть функция f удовлетворяет условию. Тогда
Выполняя подстановку

Тривиальная проверка показывает, что функция x/3 действительно является искомой.