Способы решения функциональных уравнений

Пример 4.5.1.3 Решить функциональное уравнение


(4.5.1.6)

в классе непрерывных функций.

Решение. Выполнив замену , получим


(4.5.1.7)

Складывая (4.5.1.6) с уравнением (4.5.1.7), умноженным на , получим

Это уравнение решается аналогично уравнению (4.5.1.1). Найдем подстановку, переводящую в . Для этого положим

.

Отсюда

.

Выполнив n раз подстановку , получим систему уравнений, из которой находим

Отсюда при n → ∞

, или ,

что и подтверждается проверкой.

4.6 Дифференцирование

В некоторых случаях для нахождения решения функционального уравнения целесообразно продифференцировать обе части уравнения, если, конечно, производная существует. В результате получим функциональное уравнение, которое содержит и производную неизвестной функции. Решим это уравнение относительно производной. Тогда неизвестная функция является одной из первообразных для найденной производной. Этот метод уже применялся при решении уравнения Коши в классе дифференцируемых функций.

Пример 4.6.1 Найти в классе функций, имеющих непрерывные производные, решение уравнения


f(3x+2) = 3f(x), x R. (4.6.1)


Решение. Попытки решить уравнение методом предельного перехода не приводят к желаемому результату. Левая и правая части (4.6.2.1) являются функциями от х. Они равны, следовательно, равны их производные по х. Продифференцируем (4.6.1) и после сокращения получим


f′(3x+2) = 3f′(x)

Это уравнение уже можно решить методом предельного перехода. Выполнив подстановку , получим цепочку равенств

Ввиду непрерывности , при n → ∞, имеем

Итак, = k, где k= . Первообразная функция

f(х) = kx + b.

Подставив в (4.6.1) х = -1, получим f(-1) = 0. Кроме того,

f(-1) = - k + b, т.е. k = b.

Легко проверить, что

f (х) = k (х + 1)

удовлетворяет условию при произвольном k.

Пример 4.6.2 Найти все действительные дифференцируемые функции, удовлетворяющие функциональному уравнению


(4.6.2)


Решение. Пусть f удовлетворяет данному уравнению. Тогда



т.е. f(0)[1+f ²(x)] = 0,

и, следовательно, f(0) = 0.

После преобразований имеем


, (4.6.3)

откуда, с учётом следует, что

f(x) = C (1+f ²(x)), (4.6.4)

где C = f′(0). Значит,

,

Условие f(0) = 0 означает, что C₁ = 0, т.е.

f(x) = tg Cx.

Очевидно, все функции вида tg Cx подходят под условие задачи.