Способы решения функциональных уравнений

3.2 Функциональное уравнение показательной функции

Теорема 3.2.1 Все непрерывные на всей действительной прямой функции, удовлетворяющие функциональному уравнению


f(x+y) = f(x) ·f(y), (3.2.1.1)
задаются формулой


f(x) = a^x (a>0, а ≠ 1)

(если не считать функции, тождественно равной 0).

Доказательство. Пусть f(x) - непрерывная и определённая при всех действительных x функция, удовлетворяющая (3.2.1.1). Исключим тривиальное решение f(x) 0. Тогда для некоторого значения x = x₀ эта функция отлична от нуля. Положим y = x₀ - x:


f(x) ·f(x₀-x) = f(x₀) 0;

отсюда ясно, что f(x) не равна нулю ни при каком x. Заменяя x и y в (3.2.1.1) на x/2, получим

так что f(x) строго больше 0 для всех x. Тогда равенство (3.1.2.1) можно прологарифмировать, например, по основанию e:

lnf(x+y) = lnf(x) + lnf(y).

Положив в этом соотношении φ(x = lnf(x)), придём к функциональному уравнению Коши (3.1.1):

φ(x+y) = φ(x) + φ(y).

Учитывая, что φ - непрерывная функция (как суперпозиция непрерывных функций), имеем по доказанному:

φ(x) = lnf(x) = cx (c = const),

откуда находим, что

f(x) = e^сx = a^x (если положить a = e^c).

Таким образом, единственной непрерывной функцией, удовлетворяющей уравнению Коши (3.2.1.1), является показательная функция (или тождественно нулевая функция).

В качестве класса функций, в котором искалось решение, мы рассмотрели лишь класс непрерывных функций. Как и в предыдущем пункте, можно было бы разобрать решения для монотонных и ограниченных функций, но этого мы делать не будем, потому что (3.2.1.1), как было подмечено, сводится к (3.1.1), а для него всё ясно.