Сонли усуллар ва дастурлаш фанидан лаборатория ишларини бажариш бўйича

Назарий қисм

Бизга та номаълумли та чизиқли алгебраик тенгламалар системаси
(1)
берилган бўлсин. Бу ерда лар берилган сонлар, лар номаълумлар (i,j=1,2,...,n). Агар (1) системага мос келувчи асосий детерменант 0 дан фарқли, яъни

бўлса у ягона ечимга эга бўлади.
Чизиқли алгебраик тенгламалар системасини ечишнинг бир неча усуллари мавжуд бўлиб, улардан асосийлари Крамер, Гаусс, тескари матрица, итерация усулларидир. Бу усуллар алгоритмларини (1) система учун кўриб чиқайлик.
Итерация усули. Номаълумлар сони кўп бўлганда Крамер, Гаусс, тескари матрица усулларининг аниқ ечимлар берувчи чизиқли система схемаси жуда мураккаб бўлиб қолади. Бундай ҳолларда система илдизларини топиш учун баъзан тақрибий сонли усуллардан фойдаланиш қулайдир. Шундай усуллардан бири итерация усулидир. Қуйидаги тенгламалар системаси берилган бўлсин:
, i =1,2,...,n (5)
Бу система матрица кўринишда қуйидагича ёзилади:
,
бу ерда
.
Биз (5) да (i=1,n) деб фараз қиламиз.
Тенгламалар системасида 1- тенгламани х₁ га нисбатан, 2- тенгламани х₂ га нисбатан ва охиргисини х_n га нисбатан ечамиз:
(6)
Ушбу
ва
матрицалар ёрдамида (6) ни қуйидагича ёзишимиз мумкин
(7)
(7) системани кетма-кет яқинлашишлар усули билан ечамиз:
х⁽⁰⁾=, , ,....
Бу жараённи қуйидагича ифодалаймиз:
, х⁽⁰⁾= (8)
Бу кетма-кетликнинг лимити, агар у мавжуд бўлса (5) системанинг изланаётган ечими бўлади.
Биз

белгилашни киритамиз.
Агар ихтиёрий >0 учун тенгсизлик барча i =1,2,...n учун бажарилса вектор (5) системанинг  аниқликдаги ечими деб юритилади.
Теорема. Агар келтирилган (6) система учун ёки шартлардан биронтаси бажарилса, у ҳолда (8) итерация жараёни бошланғич яқинлашишни танлашга боғлиқ бўлмаган ҳолда ягона ечимга яқинлашади.
Натижа (8) тенгламалар системаси учун , , ..., тенгсизликлар бажарилса (8) итерация яқинлашувчи бўлади.
Мисол. Тенгламалар системасини =0,001 аниқликда оддий итерация усули билан ечинг:

Ечиш:

Демак, итерация яқинлашади
.
Нолинчи яқинлашиш: , .

(8) формула ёрдамида ҳисоблашларни бажарамиз.

Ушбу жадвал ҳосил бўлади.

Яқинла-шишлар (k)	x1	x2	x3
0	2	3	5	-	-	-
1	1,92	3,19	5,04	0,08	0,19	0,04
2	1,9094	3,1944	5,0446	0,0106	0,0044	0,0046
3	1,90923	3,19495	5,04485	0,00017	0,00055	0,00025

Бунда , , бажарилади. x=x⁽³⁾ ЧТС нинг тақрибий ечими.

Тенгламалар системасини итерация усулида ечиш учун С++ алгоритмик тилида тузилган дастур матни.