Сонли усуллар ва дастурлаш фанидан лаборатория ишларини бажариш бўйича

Назарий қисм.
Эйлер усули. [a,b] кесмада
y’=f(x,y)
дифференциал тенгламанинг
y(a)=x₀
бошланғич шартни қаноатлантирувчи ечимини топиш талаб этилсин.
Эйлер усулининг моҳияти [a,b] кесмани n та оралиққа ажратамиз, яъни
x_i=a+ih=x_i-1+h, (x₀=a)
нуқталарни ҳосил қиламиз, бу ерда h=(b-a)/n

Функциянинг бу нуқталардаги қийматларини ушбу формула

y_i=y_i-1+hf(x_i-1,y_i-1)
билан ҳисобланади.
Мисол. тенгламанинг [0,1] кесмада у(0)=1 бошланғич шартни қаноатлантирувчи ечимининг тақрибий қийматлар жадвалини тузинг.
Ечиш. n=10, h=0,1 бўлсин. Ушбу формуладан
,
y_i нинг қийматлари топилади, i=1,10.

i	xi	yi	f(xi,yi)	f(xi,yi)h
0	0	1	0	0
1	0,1	1	0,05	0,005
2	0,2	1,005	0,1005	0,0100
3	0,3	1,0150	0,1522	0,0152
4	0,4	1,0303	0,2061	0,0206
5	0,5	1,0509	0,2627	0,0263
6	0,6	1,0772	0,3232	0,0323
7	0,7	1,1095	0,3883	0,0388
8	0,8	1,1483	0,4593	0,0459
9	0,9	1,1942	0,5374	0,0537
10	1,0	1,2479

Аниқ ечим: , , , , у(0)=1, С=1, , .
Дифференциал тенгламани Эйлер усулида ечиш учун С++ тилида тузилган дастурнинг кўриниши:
#include
#include
#include
using namespace std;
double funksiya(double x, double y){
return y - 2 * x * x + 4 * x - 1; // funksiya ifodasi
}
main(){
double a, b, n, y0;
cout << "a = "; cin >> a;
cout << "b = "; cin >> b;
cout << "n = "; cin >> n;
cout << "y0 = "; cin >> y0;
double h, x;
h = (b - a) / n;
x = a;
cout << "x = " << x << " y = " << y0 << endl;
for(int i = 1; i <= n; i++){
y0 = funksiya(x, y0) * h + y0;
x = x + h;
cout << "x = " << x << " y = " << y0 << endl;
}
}


Рунге-Кутта усули. Ушбу
(1)
оддий дифференциал тенгламалар системаси берилган бўлиб, унинг [a,b] оралиқдаги
y₁(x₀)=y₁₀, y₂(x₀)=y₂₀, …, y_n(x₀)=y_n0 (2)
бошланғич шартни қаноатлантирувчи ечимини топиш талаб қилинсин(x₀=a).
Агар ва белгилашлар киритсак, (1) ва (2) ни қуйидагича ёзишимиз мумкин.
Y’ = F(x,Y) (3)
Y(x₀) = Y₀ (4)
Бу ерда .
(3) тенгламалар системасининг (4) бошланғич шартни қаноатлантирувчи ечимини Рунге-Кутта усули ёрдамида топамиз. Бунинг учун x_i=a+ih, Y_i=F(x_i), i=1,2,…,n белгилашларни киритиб, қуйидаги ҳисоблашлар кетма-кетлиги бажарамиз:

(5)
Бу ерда h=(b-a)/n.
Бу ҳисоблашлар кетма­кетлиги i=1 дан n-1 гача такрорий равишда ҳисобланади, ва (5) тенгликда дифференциал тенгламанинг у=у(х) тақрибий ечимлари ҳосил бўлади.
Мисол. Қуйидаги

дифференциал тенгламалар системасини

бошланғич шартни қаноатлантирувчи ечимини Рунге-Кутта усулидан фойдаланиб топинг (a=0, b=1, n=10 деб олинг).
Ечиш. Берилган Коши масаласи ушбу

аниқ ечимга эга. Масаланинг аниқ ва Рунге-Кутта усулига тузилган дастур ёрдамида топилган тақрибий ечимлари қуйидаги жадвалда келтирилган.

	аниқ ечим	тақрибий ечим		аниқ ечим	тақрибий ечим
0,0	-1.000000000	-1.000000000		1.000000000	1.000000000
0,1	-1.090000000	-1.090000000		0.890000000	0.889999166
0,2	-1.160000000	-1.160000084		0.760000000	0.759998408
0,3	-1.210000000	-1.210000253		0.610000000	0.609997710
0,4	-1.240000000	-1.240000511		0.440000000	0.439997058
0,5	-1.250000000	-1.250000862		0.250000000	0.249996438
0,6	-1.240000000	-1.240001315		0.040000000	0.039995840
0,7	-1.210000000	-1.210001877		-0.190000000	-0.190004750
0,8	-1.160000000	-1.160002561		-0.440000000	-0.440005343
0,9	-1.090000000	-1.090003380		-0.710000000	-0.710005952
1,0	-1.000000000	-1.000004350		-1.000000000	-1.000006587

Дифференциал тенгламалар системаси учун Коши масаласини Рунге-Кутта усулида ечиш учун С++ тилида тузилган дастурнинг кўриниши:

#include
#include
#include
using namespace std;
int nurav = 2;
double y[3], yz[3];
int n;
double a, b, x0, x1, h;
void pv(double x, double y[3], double *dy){
dy[1] = 2 * exp(-x) - y[1];
}
void rungikyyta(double x, double yn[3], double *dy){
double v3[3], fc[3], fk1[3], fk2[3], fk3[3], fk4[3];
pv(x, yn, fc);
for(int i = 1; i <= nurav; i++){
fk1[i] = h * fc[i];
v3[i] = yn[i] + 0.5 * fk1[i];
}
x = x + 0.5 * h;
pv(x, v3, fc);
for(int i = 1; i <= nurav; i++){
fk2[i] = h * fc[i];
v3[i] = yn[i] + fk2[i];
}
pv(x, v3, fc);
for(int i = 1; i <= nurav; i++){
fk3[i] = h * fc[i];
v3[i] = yn[i] + fk2[i];
}
x = x + 0.5 * h;
pv(x, v3, fc);
for(int i = 1; i <= nurav; i++){
fk4[i] = h * fc[i];
dy[i] = yn[i] + 0.1666666666667 * (fk1[i] + 2 * fk2[i] + 2 * fk3[i] + fk4[i]);
}
}
main(){
cout << "a = "; cin >> a;
cout << "b = "; cin >> b;
cout << "n = "; cin >> n;
h = (b - a) / n;
x0 = a;
for(int i = 1; i <= nurav; i++){
cout << "y0[" << i << "] = "; cin >> yz[i];
}
cout << endl << "x = " << x0 << endl;
for(int i = 1; i <= nurav; i++) cout << "y[" << i << "] = " << y0[i] << endl;
cout << endl;
x1 = a;
for(int j = 1; j <= n; j++){
rungikyyta(x1, yz, y);;
x1 = a + j * h;
cout << "x = " << x1 << " ";
for(int i = 1; i <= nurav; i++) cout << "y[" << i << "] = " << y[i] << " ";
cout << endl;
x0 = x1;
for(int i = 1; i <= nurav; i++)
yz[i] = y[i];
}
}
Назорат саволлари:

1. 
   Дифференциал тенгламага таъриф беринг.
   
2. 
   Дифференциал тенгламага тартиби қандай аниқланади?
   
3. 
   Дифференциал тенглама учун бошланғич шартлар қандай берилади?
   
4. 
   Коши масаласи қандай масала?
   
5. 
   Дифференциал тенгламалар ва уларнинг системасини ечишда Эйлер усули ва унинг алгоритми?
   
6. 
   Дифференциал тенгламалар ва уларнинг системасини ечишда Рунге-Кутта усули ва унинг алгоритми?