Sonli to'plamlar

III-asosiy savol bayoni. 

Haqiqiy  sonlarni  cheksiz  o'nli  kasr  ko'rinishida  ifodalash:  Shunday  ekan,  haqiqiy 

sonlar to'plamini quyidagicha ham

 

ta'riflash mumkin: barcha cheksiz o'nli kasrlar to'plami 

---

haqiqiy sonlar deyiladi. Shunday qilib, R haqiqiy son, U cheksiz o'nli kasrlar va T to'g'ri 

chiziqdagi  nuqtalar  to'plamlari  orasida  o’zaro  bir  qiymatli  moslik  mavjud  ((R



U,  

U



T) 



R



T). 

Endi musbat haqiqiy sonni cheksiz o'nli kasr ko'rinishida ifodalashni batafsil qaraymiz. 

Agar  x  ≥1  bo'lsa,  u  holda  shunday  n  natural  son  topiladiki,  n≤x<  n  +1  tengsizlik 

bajariladi. n son x sonning butun qismi deyilishi ilgaridan ma'lum, ya'ni n = [x]. Agar  

x< 1 bo'lsa, [

X

]

 

= 0 bo'ladi. Faraz qilaylik, [x]=n bo'lsin. 

Z

0

 = {0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} to'plamga tegishli bo’lgan shunday n son topiladiki,  

10

1

10

1

1









n

n

x

n

n



  tengsizlik bajariladi. Z

0

, to’plamda shunday n

2

 son borki, 

2

2

1

2

2

1

10

1

10

10

10













n

n

n

x

n

n

n



 tengsizlik bajariladi. Bu tanlashni davom ettirib, istalgan k 

son uchun Z

0

 to'plamdan olingan shunday n

k

 son topiladiki, 

k

k

k

k

n

n

n

n

x

n

n

n

n

10

1

...

10

10

10

...

10

10

2

2

1

2

2

1





















  (1)  tengsizlik  o'rinli  bo'ladi.  Bu  yerda 

k

k

n

n

n

n

10

...

10

10

2

2

1









yig'indini  n,n

1

n

2

..n

k

  chekli  o'nli  kasr  ko'rinishida  yozish  qabul 

qilingan. Bunday holda (1) quyidagi ko'rinishda yoziladi: 

n,n

l

n

2

...n

k

≤x

l

n

2

...n

k 

+

k

10

1

.(2)  tengsizliklarning cheksiz sistemasini x= n,n

1

n

2

...n

k

... (3) 

ko'rinishida  yozish  qabul  qilingan.  (3)  ning  o'ng  qismi  x  sonning  cheksiz  o'nli  kasr 

shaklidagi ifodasidir. 

x=

2

sonini cheksiz o'nli kasr ko'rinishida ifodalaylik (yoki x

1

= 2 tenglamaning 1 gacha, 

0,1; 0,01; 0.001: ... aniqlikdagi taqribiy ildizlarini topaylik). 

Ma'lumki, l

2

 = 1 < 2, 2

2

 = 4 > 2. Demak, 1 < 

2

 < 2 . 

Bu  qadamda  olingan  1  soni 

2

  sonining  kami  bilan  olingan,  2  soni  esa  ortig'i  bilan 

olingan  1  gacha  aniqlikdagi  taqribiy  qiymatlari  bo'ladi.  Yo'l  qo'yilgan  xato  ∆  =  2-1  =  1. 

Navbatdagi yaqinlashishni bilish uchun oxirgi nuqtalari 1 va 2 bo'lgan kesmani teng 10 ta 

bo'lakka  bo'lib, bo'linish nuqtalariga  mos keluvchi 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5;  ...; 1,9 sonlarni 

navbat  bilan  kvadratga  ko'tarib  1,21;  1,44;  1,89;  1,96;  2,25;  ...;  3,24;  3,61  sonlarini 

topamiz. Demak, 1,4 < 

2

 < 1,5. Bu qadamda topilgan 1,4 soni 

2

 sonining kami bilan 

olingan,  1,5  soni  esa  ortig'i  bilan  olingan  0,1  aniqlikdagi  taqribiy  qiymati  bo'ladi.  «Bu 

qadamda yo'l qo'yilgan xato o'n marta kamaydi, ya'ni ∆

1

 = 1,5 - 1,4 = 0,1. 0.01 aniqlikdagi 

yaqinlashishni  olish  uchun  oxirlari  1,4  va  1,5  nuqtalarda  bo'lgan  kesmani  teng  10  ta 

bo'lakka  bo'lib,  bo'linish  nuqtalariga  mos  kelgan  1,41;  1,42;  1,43;  1.44:  1,45;  ...;  1,49 

sonlarni  kvadratga  ko'tarsak,  1,41

2

=  1,9881  <2;  1.42

2

  =  2,0164>2  va  1,41  < 

2

  <  1,42 

bo'ladi. Yo'l qo'yilgan xato birinchi qadamga nisbatan 100 marta kamaydi, ya'ni  

∆

2

 = 1,42 - 1,41 = 0.01. 

0.001  aniqlikdagi  yaqinlashishni  olish  uchun  oxirlari  1.41  va  1,42  nuqtalarda  bo'lgan 

kesmani teng 10 ta bo'lakka bo'lib, bo'linish nuqtalariga mos keluvchi 1,411; 1,412; 1,413; 

1,414;  ...;  1,419  sonlarni  kvadratga  ko'tarib,  olingan  natijalarni  taqqoslab,                     

1,414<

2

< 1,415 bo'lishini topamiz.  4- qadamda 

2

 sonining taqribiy qiymatini 0,0001 

aniqlikda  topamiz.  Bu  qadamda  yo'l  qo'yilgan  xato  1-  qadamga  nisbatan  1000  marta 

kamaygan bo'ladi. Yaqinlashishlarni cheksiz davom ettirib, 42 sonining taqribiy qiymatini 

istalgan  aniqlikda  (

X

2

 

=  2  tenglamaning  taqribiy  ildizlarini  istalgan  aniqlikda)  topish 

---

mumkin.  Yuqoridagiga  o'xshash   

3

, 

5

, 

7

...  sonlarining  taqribiy  qiymatlarini                    

(

X

2

 

=  3, 

X

2

 

=  5, 

X

2

 

=  7  tenglamalarning  taqribiy  ildizlarini)  istalgan  aniqlikda  topish 

mumkin.