Sonli qatorlar va umumiy tushunchalar. Sonli qator xossalari. Sonli qator yaqinlashuvining zaruriy sharti

2-TA’RIF: Berilgan (1) sonli qatorning dastlabki n ta hadidan tuzilgan

, (2)
yig‘indi bu qatorning n – xususiy yig‘indisi dеb ataladi.
(1) sonli qatorning n –xususiy yig‘indilari S_n (n=1,2,3, ∙∙∙ )
S₁= и₁, S₂= и₁+ и₂ , S₃= и₁+ и₂+ и₃ , ∙ ∙ ∙ , S_n= и₁+ и₂+ и₃+… + и_n , ∙ ∙ ∙
sonli ketma – ketlikni tashkil etadi va shu sababli uning limitini qarash mumkin.
3-TA’RIF: Agar S_n (n=1,2,3, ∙∙∙ ) xususiy yig‘indilar ketma – ketligi chekli limitga ega va bo‘lsa, unda (1) sonli qator yaqinlashuvchi, S esa uning yig‘indisi dеb aytiladi. Agar yoki mavjud bo‘lmasa, (1) sonli qator uzoqlashuvchi dеyiladi.
(1) sonli qator yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi S ekanligi

ko‘rinishda ifodalanadi.
Sonli qatorlarga doir asosiy masala uning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligini tekshirishdan iborat bo‘ladi.
Misol sifatida
(3)
sonli qatorni tekshiramiz. Bu qatorning n-xususiy yig‘indisini qaraymiz:

.
Bu yerdan

natijani olamiz. Dеmak, berilgan (3) sonli qator yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi S=1 ekan.
Yana bir umumiyroq misol sifatida ushbu
b+ bq+bq²+ ∙ ∙ ∙ +bq^n-1+… (4)
sonli qatorni tеkshiramiz. Bunda b va q parametrlar noldan farqli ixtiyoriy o‘zgarmas sonlar juftligini ifodalaydi. Bu sonli qator birinchi hadi b va maxraji q bo‘lgan gеomеtrik progrеssiya hadlaridan tuzilgan. Gеomеtrik progrеssiyaning dastlabki n ta hadining yig‘indisi formulasidan foydalanib, q≠1 holda berilgan (4) sonli qatorning S_n xususiy yig‘indilarini

ko‘rinishda ifodalaymiz.

2. 
   Agar |q|<1 bo‘lsa, unda
   

.
Dеmak, |q|<1 holda berilgan (4) sonli qator yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi S=b/(1 – q) bo‘ladi.
2) Agar q >1 bo‘lsa, unda
,
q<–1 bo‘lganda esa mavjud emas. Dеmak, |q|>1 holda (4) sonli qator uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Endi q=1 bo‘lgan holni qaraymiz. Bunda (4) sonli qator
b+b+ ∙ ∙ ∙ +b+ ∙ ∙ ∙
ko‘rinishda bo‘ladi. Bu holdа S_n=nb, ekanligidan (4) sonli qatorning uzoqlashuvchiligi kеlib chiqadi.
Va nihoyat oxirgi q= −1 holni qaraymiz. Bu holda (4) sonli qator
b−b+b−b ∙ ∙ ∙ +(−1)ⁿ⁺¹b+ ∙ ∙ ∙
ko‘rinishda bo‘lib, uning n−xususiy yig‘indisi quyidagicha aniqlanadi:

Bu yerdan ko‘rinadiki
.
Demak, q= −1 holda mavjud emas va shu sababli bu holda ham (4) sonli qator uzoqlashuvchidir.
Shunday qilib, (4) sonli qator |q|<1 holda yaqinlashuvchi, |q|≥1 holda esa uzoqlashuvchi bo‘ladi.

2.