Сонли каторлар

Сонли каторлар.

Маьлумки, прогрессиялар математикада алохида урин тутади. Айникса, прогрессия хадларининг йигиндиси боглик масалалар куп учрайди.

Ушбу
(1)
кетма-кетлик булганда геометрик прогрессия деб, аталади(а-прогрессиянинг биринчи хади, q-прогрессия махражи).(1) прогрессиянинг биринчи n та хадининг йигиндиси куйидаги
_{, агар булса.}
формула билан ифодаланади. Бу йигиндига (1) прогресс-сиянинг n-хадидан кейинги хадларини бирин –кетин куша борсак, хосил булган,



Йигиндилар берилган чексиз прогрессиянинг барча хадларининг йигиндисини табора якин (аник) ифодалай боради дейиш табиийдир. Демак, да нинг лимитини чексиз прогрессиянинг барча хадлари йигиндиси деб, киритиш мумкин. шундай килиб, ушбу

“чексиз йигтнди” ни урганиш масаласи юзага келади. Бундай “чексиз йигинди” катор тушунчасига олиб келади.
Биз бу маърузада сонли каторларни аникроги, уларнинг якинлашиши, узоклашиши, якинлашиш аломатлари хамда якинлашувчи каторларнинг хоссаларини урганамиз.
АСОСИЙ ТУШИНЧАЛАР
Ушбу
(2)
Хакикий сонлар кетма-кетлиги берилган булсин. 1-таьриф. Куйидаги
(3)
ифода катор (сонли катор) деб аталади. (3) каторни кискача
каби белгиланади.

Юкоридаги кетма-кетликнинг элементлари каторнинг хадлари дейилади, эса каторнинг умумий хади дейилади. (3) каторнинг хадларидан куйидаги





…………………

…………………
йигиндиларни тузамиз. Бу йигиндилар каторнинг йигиндилари дейилади. Демак, (3) катор берилган холда хар доим бу каторнинг кисмий йигиндиларидан иборат ушбу

сонлар кетма-кетлигини хосил килиш мумкин.
2-таьриф. Агар да (3) каторнинг кисмий йигиндиларидан иборат кетма-кетлик чекли лимитга эга, яъни

булса, у холда катор якинлашувчи дейилади. Бу лимитнинг киймати А сон (3) каторнинг йигиндиси дейилади ва куйидагича езилади :
.
3-таьриф. Агар да (3) каторнинг кисмий йигиндиларидан иборат кетма-кетликнинг лимити чексиз булса, еки бу лимит мавжуд булмаса, у холда (3) катор узоклашувчи дейилади.
Мисоллар.1.Ушбу

каторни карайлик. Бу каторнинг кисмий йигиндисини хисоблаб, унинг лимитини топамиз. . Демак, берилган катор якинлашувчи ва унинг йигиндиси 2 га тенг :

2.Куйидаги

катор узоклашувчи, чунки бу каторнинг кисмий йигиндиси

булиб,

3.Куйидаги
катор хам узоклашувчи, чунки бу каторнинг кисмий йигиндиси
булиб, кетма-кетлик лимитга эга эмас .
4.Геометрик прогрессия хадларидан тузилган

каторни карайлик. Одатда бу катор геометрик катор дейилади. Бу каторнинг кисмий йигиндисини ёзамиз:

Агар булса,

булади. Демак, бу холда геометрик катор якинлашувчи ва унинг йигиндиси сонга тенг .
Агар булса булиб, катор узоклашувчи булади. Агар булса, булиб, катор узоклашувчи, булганда эса кетма –кетлик лимитга эга эмас. Демак, бу холда хам катор узоклашувчи булади .
Шундай килиб, геометрик катор булганда якинлашувчи, ва булганда узоклашувчи булади.
5.Куйидаги
(4)
каторни олайлик. Бу катор гормоник катор деб аталади. (Маълумки, агар ва сонлар учун
тенглик уринли булса, с сон а ва b сонларнинг урта гормоник киймати дейилади. Берилган (4) каторнинг иккинчи хадидан бошлаб, хар бир хади узига бевосита кушни булган икки хадининг урта гормоник кийматини ташкил этади. (4) каторнинг гормоник деб аталиши хам шундай келиб чиккан) (4) каторнинг биринчи та хадидан тузилган

кисмий йигиндисини олиб, уни куйидагича



ёзиб оламиз: Энди ушбу



……………………………….

тенгсизликларни эътиборга олсак, унда тенгсизлик уринли булиши келиб чикади.
Равшвнки, кетма-кетлик усувчи. Демак, . Шундай килиб, гармоник катор узоклашувчи.
Ушбу (5)
каторни карайлик. Бу каторнинг кисмий йигиндисини ёзамиз:
.
Шу йигиндининг да лимитини топиш учун куйидаги фурмулани келтирамиз ( да):
.
Бунда учун

тенгсиизлик уринли. Юкоридаги фурмулада х=1 деб топамиз:
.
Натижада ушбу

тенгсизликка келамиз . Ундан

тенглик келиб чикади. Демак,(5) катор якинлашувчи ва унинг йигиндиси га тенг .
Ушбу парогрифнинг охирида каторнинг колдиги тушшунчасини келтирамиз. (3) каторнинг биринчи m та хадини ташласак, унда
(6)
катор хосил булади. (6) катор (3) каторнинг (m-хадидан кейинги ) колдиги дейилади.