Sonlar nazariyasidan misol va masalalar

47. 20-masaladan 
  ⋮       ) va            dan       ⋮            Ikkinchi tomondan 
          ⋮         Shunday qilib                  bo‘ladi. 
48. Faraz qilaylik, 
                 bo‘lsin. U holda  
                                                                                                                    
Bundan 
   
   
 
     
  
 
     
  
 
     
  
 
  
Demak, 
  soni         larning umumiy karralisi  va                          deb 
yoza olamiz.
   dan 
 
 
 
  
 
  
          
 
 
  
 
 
          
 
 
  
 
 
          
 
 
  
 
  
Bulardan 
  soni   
  
  
  
  
 
  
  
 
 sonlarning umumiy bo‘luvchisi. Farazimizga ko‘ra  
(
  
  
 
  
 
 
  
 
)    , shuning uchun ham       va                 Endi     dan 
isbotlanish talab etilgan tenglik kelib chiqadi. 
49. a) bеrilgan sistеmadagi ikkinchi tеnglama  








1
)
,
(
30
30
v
u
v
у
u
х
       sistеmaga  tеng kuchli, shu sababli sistеmaning birinchi  tеnglamasi    
          ko‘rinishda bo‘ladi, bundan esa             (yoki             )  bo‘lishi 
mumkinligini  ko‘ramiz. 
     ning  topilgan  bu  qiymatlari  bo‘yicha      
              (yoki                        bo‘lishini  topamiz.     ning  x  га  mos 
qiymatlarini  
            tеnglikdan topamiz. 

---

 
 
93 
 
Shunday qilib, sistеmaning yеchimlari 
                                     
juftliklardan iborat ekan. 
b) bеrilgan sistеma   
{
           
 
 
 
  
 
   dagi birinchi tеnglama  








1
)
,
(
45
45
v
u
v
у
u
х
       sistеmaga  tеng kuchli, shu sababli sistеmaning ikkinchi 
tеnglamasidan    
       va        bo‘lishini topamiz. Dеmak,                  
bo‘lar ekan. 
   {
         
              {
       
 
       
 
  
 
   
 
     
    
 
 
 
      
  {
 
 
   
 
    
  
 
   
 
       
 
 
Bundan 
 
 
              va                            
 
                       
                  
  






28
)
.
(
9
5
y
x
y
x
1
)
;
(
28
28
1
1
1
1



y
x
y
y
x
x








1
)
;
(
9
5
1
1
1
1
y
x
y
x

1
1
1
1
5
9
( ;
) 1
x
y
x y







 
 
 
                             
 
                            
    e) 
 
 
 
   
2
,
,
20
10
,
,
10
,
20











y
x
y
x
y
x
xy
y
x
y
x
xy
 




1
1 1
1
1
1
1
1
1,
1
2
5
5;1
10; 2
2
.
,
1
1;5
2;10
,
1
x
x
x y
x
x
y
y
x y
y
y
x
y















 
50.
              dan            kelib chiqadi.             ning ikkala 
tomonini 
  ga ko‘paytiramiz. U holda  
                                               
hosil bo‘ladi. Agar 
         ⋮      bo‘lsa,             bo‘gani uchun   sonining 
  bo‘linishi kelib chiqadi. 
51. 
            ning ikkala tomonini       ga ko‘paytiramiz va             
ekanligidan foydalanamiz. U holda 
                                  
                                                                   . 
10.b)-misolga asosan 
                                 bo‘lgani uchun          
   soni   ga bo‘linsa   soni    ga bo‘linadi. 

---

 
 
94 
 
52. 
   
 
 sonini qaraymiz. 
   
 
   
 
 
   
   
 
 
 
          
 
         
 
 
             Endi agar  
 
⋮    bo‘lsa,  ⋮    va aksincha   ⋮    bo‘lsa,  
 
⋮    
bo‘ladi. 
53.26-misoldagi qoidani  N=3086379 soniga tadbiq  etamiz. 
 
 
                       
 
 
                     
 
 
                     
 
                 
 
 
                             
Demak, 
        soni ham    ga bo‘linadi. 
 
I.3-§. 
 
              
 
   
 
  bo‘lsin,  u  holda:  a)agar 
 
 
     bo‘lsa   
 
          
          bo‘lishi kerak.  
 
tub son bo‘lgani uchun bunday bo‘lishi mumkin emas. 
b) 
 
 
  toq  tub  son  bo‘lsin,  ya`ni 
 
 
         ,  bu  holda   
 
               
             bo‘ladi.  Bunday  bo‘lishi  ham  mumkin  emas.         ni     ta  tub 
sonning ayirmasi ko‘rinishida ifodalab bo‘lmaydi. 
55. 
              
 
   
 
dan tub sonlarning bitta juft son  bo‘lishi kerak ekanligi 
kelib chiqadi, 
 
 
    desak      
 
     bunda  
 
 tub son. 
56.  Faraz  qilaylik,       
 
 
   
 
    bo‘lsin,  u  holda   
 
   
 
     bo‘lib,  bundan 
haqli  ravishda 
                    tеnglikni  yoza  olamiz  va  bundan  esa         
             kelib chiqadi. Dеmak             yoki                      bo‘lib 
bu  esa 
  tub  son  dеb  qilingan  farazimizga  ziddir,  dеmak  farazimiz  noto‘g`ri  va 
                          sonning kvadratini  natural son kvadrati va  tub sonning  
yig‘indisi ko‘rinishida ifodalash mumkin emas ekan. 
57. 1-usul.  
         
 
          
 
 bo‘lsin. Agar 
    √ bo‘lsa,  
 
  √  bo‘ladi va 
bu tengsizliklarni hadlarni ko‘paytirsak
     
 
     bo‘lar edi. Demak,     √ . 
2-usul. 
         
 
          
 
 bo‘lsin. U holda 
  
 
        
 
 yoki  
 
 
   . Bundan  
    √   
Agar 
  tub son bo‘lsa, bu teorema o‘rinli emas,  chunki bu holda   ning eng kichik 
tub bo‘luvchisi ham 
      bo‘ladi. 
58. 1)
     √        bo‘lgani uchun       ni  ketma-ket             tub  sonlariga 
bo‘lib ko‘ramiz. Agar shularning birortasi ham bo‘linmasa, 
    soni tub son bo‘ladi, 
aks  holda  tub  son    bo‘lmaydi. 
     soni                  larning  birortasiga  ham 
bo‘linmaydi. Demak 
    tub son. 
3) 
     √        bo‘lgani uchun     ni ketma-ket                     
               tub  sonlariga  bo‘lib  ko‘ramiz.  Agar  shularning  birortasi  ham 
bo‘linmasa, 
   soni  tub  son  bo‘ladi,  aks  holda  tub  son    bo‘lmaydi.         soni    bu 
sonlarning birortasiga ham bo‘linmaydi. Demak,  
    tub son. 

---

 
 
95 
 
3) 
     √          va       soni               larga bo‘linmaydi, lekin    ga 
bo‘linadi, ya‘ni 
                 Shuning uchun ham u murakkab son. 
59. 1) 
            bu yerda      √          Shuning uchun ham berilgan sonlar 
orasidagi 
         ga  karralilarni  o‘chirib  chiqamiz.  2  ga  karralilarini  tushirib 
qoldirsak: 
                      lar  qoladi.Bular  orasidan    ga  bo‘linadiganlarini 
o‘chirsak:
                 lar  qoladi.  Bular  orasida     ga  va   ga  karralisi  yo‘q. 
Shuning uchun ham 
                lar qaralayotgan oraliqdagi tub sonlar. 
2) 
    va                    √          bo‘lgani  uchun  1)-  misoldagi  singari 
ish  tutib  berilgan  sonlar  orasidagi 
              ga karralilarni o‘chirib chiqamiz. 2 
ga  karrali  sonlarni  tushirib  qoldirsak, 
                         lar  qoladi.  Bular 
orasidan 3, 5 ga bo‘linadiganlarini tushirib qoldirsak, 
                   lar qoladi. 
Bu sonlar orasida 7 ga,  11 ga yoki 13 ga bo‘linadiganlari yo‘q. Shuning uchun ham 
bu sonlar tub sonlardir.
 
3)
                 √           bo‘lgani  uchun  2-  misoldagi  singari  ish  tutib 
berilgan sonlar orasidagi 
              ga karralilarni o‘chirib chiqamiz. 2 ga karrali 
sonlarni  tushirib  qoldirsak, 
                                                lar 
qoladi.  Bular  orasidan 
      ga  bo‘linadiganlarini  tushirib  qoldirsak,      
                  lar  qoladi.  Bu  sonlar  orasida     ga  bo‘linadiganlarini  tushirib 
qoldirsak 
         lar qoladi. Bulardan     soni    ga karrali.     esa    ga ham 
   ga ham bo‘linmaydi. Shuning uchun ham      qaralayotgan oraliqdagi yagona tub 
sondir. 
 
                               √         . 
Bo‘lgani 
uchun 
berilgan 
oraliqdagi  sonlar  orasidan   
   dan     gacha  bo‘lgan  tub  sonlarga  bo`linadiganlarini 
tushirib  qoldiramiz.  U  holda   
                                     sonlarining  
berilgan oraliqdagi tub sonlar ekanligiga ishonch hosil qilamiz. 
60. Faraz  qilaylik, 
   soni          sonining  tub  bo‘luvchisi  bo‘lsin.  U  holda     
        bajariladi. Bundan           Ikkinchi tomondan          soni    ga bo‘linmaydi, 
shuning  uchun  ham 
     .  Bulardan              Isbotdan  tub  sonlar  sonining 
cheksiz ko‘p ekanligi kelib chiqadi. 
                                              larning barchasi murakkab sonlar. 
         da         bo‘lib  faqat      tub  son.         da           bo‘lib,  bularning 
birortasi  ham  tub  son  emas.   
       bo‘lsa,  uni                         deb  yozish  
mumkin. 
       bo‘lsa,                      .  Bularning  uchalasi  tub  bo‘ladigan 
faqat 1 ta 
 =1 qiymati mavjud. Bu holda       va         tub sonlari hosil bo‘ladi.  
       bo‘lsa,                               tub  emas.         da              
                        soni  tub  son  emas.  Demak,                     sonlar  bir 
vaqtda tub bo‘ladigan 
  ning faqat   ta qiymati       mavjud ekan. 

---

 
 
96 
 
63. Tub  sonlarni 
   ta  sinfga                                  bo‘lamiz.  1-sinfda 
faqat 
   ta           tub  soni       mavjud.  Bu  holda    
 
                    -tub 
son bo‘ladi. 
Agar 
            ko‘rinishda  tub  son  bo‘lsa,  (2  va  3-  sinflar  cheksiz  ko‘p  tub 
sonlar 
mavjud), 
  
 
          
 
                   
 
           
    
 
            murakkab son bo‘ladi. 
Endi,  agar 
            ko`rinishdagi  tub  son  bo‘lsa,  u  holda    
 
     
    
 
                     
 
                 
 
           ya`ni bu holda ham 
murakkab son bo‘ldi. Shunday qilib 
  ning faqat bitta        qiymatida   
 
     
   tub son bo`lar ekan. 
64. Barcha natural sonlarni  
  ga bo‘lib qoldiqlari bo‘yicha                          
deb yoza olamiz. Agar  
        bo‘lsa         bo‘lib faqat       da tub son       
bo‘ladi  va  bu  holda 
  
 
                          
 
                  
                             Qolgan hollarda            n=1,2,3,4 tub son bo‘lsa, 
u  holda 
  
 
           
 
          
 
             
 
           
 
     va 
  
 
           
 
          
 
             
 
           
 
       bu 
yerda 
  
 
     ifoda       da 5,        da  65,          da   
 
                       ga 
teng qiymat qabul qiladi,  ya`ni 
            ko‘rinishda bo‘lsa    
 
     ifoda   ga 
bo‘linadi, agarda 
            ko‘rinishidagi tub son bo‘lsa, u holda   
 
     ifoda   
ga bo‘linadi. Demak izlanayotgan qiymat bitta  
       
65.  1) 
       va          lar  uchun          da               murakkab  son.  Agar 
           toq tub son bo‘lsa,                           murakkab son bo‘ladi. 
2) 
                 uchun         da             murakkab  son.             bo‘lsa, 
                          murakkab son. 
3) 
 
 
       
 
           )  uchun  sonlarning                        ko‘rinishidagi 
yozuvidan foydalanamiz. Bunda quyidagi uchta holni qaraymiz: 
1)
 
 
                   2) 
 
                  
 
          
      Birinchi  holda 
 
 
      bo‘lishi  mumkin  emas.  Ikkinchi  hol    
 
          
bo‘lsa, 
 
 
         bo‘ladi.         da   
 
         tub  son  bo‘ladi  va           da  
           ham  tub  son,  lekin  misolning  shartida       .    Uchinchi  holda    
 
 
       bo‘lsa,   
 
              bo‘ladi.  Shunday  qilib   
 
     va   
 
          
   bo‘lganda bir vaqtda tub son bo‘lmas ekan. 
66. Agar 
      bo‘lsa,   va   
 
         lar tub sonlar hamda   
 
          
                    tub  son  bo‘ladi,              bo‘lsa,   
 
     8   
 
      
            
 
                 
 
           
murakkab 
son 
bo‘ladi. 
Shuningdek, agarda 
           bo‘lsa,   
 
     8   
 
                    
 
 
                
 
            murakkab son bo‘ladi. 

---

 
 
97 
 
67. 
 
  
   
  
    
 
 
 
    
 
 
 
    
 
   
 
   
  
   
 
   
 
   
  
   
  
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
  
   
 
   
 
   
  
                                
               
68. 
     ;       
 
              
 
    bo‘lsin. 
a)
              bo‘lsin, u holda   murakkab son ekanligi ma‘lum. 
b)     
           bo‘lsin, u holda                    
 
             
 
      va 
               
 
                 
 
     bo‘ladi. Bunda       murakkab son; 
c)   
           ko‘rinishda bo‘lsin, u holda                
 
        murakkab 
son. Demak, berilgan shartlarda 
                     lar bir vaqtda tub sonlar bo‘la 
olmas ekan. 
69.  1) 
 
 
       
 
    
 
    
 
        
 
    
 
    
 
    
 
            
 
 
                  
 
            
 
      bo‘lib,  bu  esa          da  murakkab  son 
bo‘lishligini anglatadi. 
2) 
 
 
   
 
        
 
    
 
   
 
    
 
             
 
                 
da 
murakkab son bo‘ladi. 
70. 
                           sonlarni  qaraymiz.         tub  sonlar                 
ko‘rinishlarida bo‘ladi. 
                            deb olsak, u holda              
    murakkab  son  bo‘ladi,  agarda                                bo‘lsa,  u  holda 
                    murakkab  son  bo‘ladi.          bo‘lsa,         da  tub  son       
                            yagona egizak tub sonlar uchligini hosil bo‘ladi. 
71. 
            ko‘rinishidagi  tub  son    bo‘lsin.U  holda                     
  sonini  qaraymiz.   soni  ham          ko‘rinishidagi  son,  chunki                    
       deb yoza olamiz.   sonining kanonik yoyilmasida   dan katta murakkab son 
qatnashadi va ularning orasida albatta 
       ko‘rinishidagi tub son mavjud, agar   
ning  barcha  bo‘luvchilari 
       ko‘rininishida bo‘lsa,   ham shunday ko‘rinishda 
bo‘lishi  kerak  bo‘lar  edi.  Demak, 
  qanday  bo‘lishidan  qat‘iy  nazar     dan  katta 
           ko‘rinishidagi tub son mavjud ekan. 
72.   ∏
 
 
       
 
   
 
   
(k>n, q 1) bo‘lib, bundan   
 
 
  ∏
 
 
   
 
   
 va 
 
 
  ∏
 
 
 
   
  Shunday ekan    
   
  ∏
 
 
 
   
  
73. Ma'lumki 
 
 
    , ya'ni bеshinchi tub son 11 ga tеng va 2 5=10 bo‘lib, 11>10 
bo‘ladi.  Agar 
 
 
    ,  (n=5,6,7…)  bo‘lsa,  u  holda   
   
   
 
     ekanligidan 
 
   
          yoki   
   
            kеlib  chiqadi,  bu  esa  isbotlanishi  talab 
qilinayotgan tеngsizlikni bеradi.  
74. 
 
 
   
 
   
dan 
       da   
 
       
 
     bajariladi).         da   
 
     
           da   
 
          bajariladi.  Endi  faraz  qilaylik,         da      
           
 
   
 
   
 tengsizlik o‘rinli bo‘lsin. U holda 

---

 
 
98 
 
 
   
  ∏  
 
           
 
 
 
   
 
  
   
    
       
  
   
  
       
  
  
Demak, berilgan munosabat ixtiyoriy 
  natural soni uchun o‘rinli. 
75. Faraz qilaylik 
 
 
    tub son bo‘lib   murakkab son  bo‘lsin, u holda      
 
 
 
 
    
 
      
 
     deb  yoza  olamiz.  Bundan   
 
       
 
 
 
 
        
 
 
 
 
 
    
murakkab son bo‘ladi. 
 
 
    tub son degan teskari tasdiq hamma vaqt ham o‘rinli 
emas. Masalan: