Sonlar nazariyasidan misol va masalalar

2-§. Eng katta umumiy bo’luvchi (EKUB) va eng kichik 
umumiy  karrali (EKUK) 
 
 
Berilgan 
 
 
   
 
       
 
  sonlarning  barchasini  bo‘luvchi  sonlarga  ularning 
umumiy  bo‘luvchilari  deyiladi.  Umumiy  bo‘luvchilarining  eng  kattasiga  berilgan 
sonlarning  eng  katta  umumiy  bo‘luvchi  (EKUB)  deyiladi  va  uni   
 
 
   
 
       
 
  
ko‘rinishda belgilaymiz. 
Berilgan 
 
 
   
 
       
 
  sonlarning  barchasiga  bo‘linadigan  sonlarga  ularning 
umumiy  karralilari  (bo‘linuvchilari)  deyiladi.  Umumiy  karralilarining  eng  kichigiga 
berilgan  sonlarning  eng  kichik  umumiy  karralisi  (EKUK)  deyiladi  va  uni 
  
 
   
 
       
 
   ko‘rinishda  belgilaymiz.  Ta‘rifdan    
 
   
 
       
 
       va 
  
 
   
 
       
 
      ekanligi kelib chiqadi. 
Bu  paragrafda  masalalar  yеchimini  topishda  EKUB  va  EKUK  ning  quyidagi  ikki 
asosiy xossasidan foydalanamiz: 
1.  Bеrilgan sonlar EKUBi ularning ixtiyoriy umumiy bo‘luvchisiga bo‘linadi. 
2.  Bеrilgan sonlarning ixtiyoriy umumiy karralisi ularning EKUKiga bo‘linadi. 
Bir nechta sonlarning EKUB va EKUKini  topishda 
  
 
   
 
       
   
   
 
    (  
 
   
 
       
   
    
 
)    
 
   
 
       
   
   
 
 
  [  
 
   
 
       
   
    
 
] 
rеkurrеnt formulalardan foydalanib, ikkita sonning EKUB va EKUKlarini topishga 
kеltiramiz. 
Ikkita sonning EKUBini ularning kanonik yoyilmasi (tub ko‘paytuvchilar 
ko‘paytmasiga yoyilmasi) yoki Еvklid algoritmidan foydalanib topish mumkin. 
  va    lar natural sonlar bo‘lib       bo‘lsin.  U holda qo‘ldiqli bo‘lish haqidagi 
teoremaga asoslangan quyidagi jarayonga Evklid algoritmi deyiladi: 
)
1
(
0
,
0
,
0
,
0
,
1
1
1
2
2
3
3
3
2
1
1
2
2
2
1
1
1
1


































n
n
n
n
n
n
n
n
n
q
r
r
r
r
r
q
r
r
r
r
r
q
r
r
r
r
r
q
r
b
b
r
r
bq
а











 
Bu yerda 
     
 
   
 
       
   
   
 
 bajarilgani uchun jarayon albatta, chekli 
bo‘ladi. Evklid algoritmidagi noldan farqli oxirgi qoldiq 
 
 
 berilgan  
  va    
sonlarning EKUBi bo‘ladi, ya‘ni 
 
 
           Agar  
 
   
 
       
 
 sonlari uchun 
  
 
   
 
       
 
      bo’lsa, ular o’zaro tub,  
 
   
  
 bo‘lganda 
( 
 
 
   
 
 
)     bo‘lsa, 
juft-jufti bilan o‘zaro tub sonlar dеb ataladi. Ikkita 
  va   sonlarining EKUB va 

---

 
 
10 
 
EKUK lari  
                        tеnglik orqali bog‘langan, ammo bu ko‘p hollarda 
bir nеchta sonlar uchun o‘rinli emas. 
Agar bеrilgan sonlar juft-jufti bilan  o‘zaro tub bo‘lsa, ularning EKUKi bеrilgan 
sonlarning ko‘paytmasiga tеng bo‘ladi. 
28.  Evklid algoritmidan foydalanib, berilgan sonlarning EKUBini toping:  
         1) 546 va 231;     2) 1001 va 6253;     3) 1517 va 2257. 
29.                        va                   
            
                       va                     ni toping. 
30.                             ;  b).                      ekanligini isbotlang. 
31.  Ikkita kеtma-kеt juft sonlarning EKUBi 2ga, ikkita kеtma-kеt toq sonlarning    
EKUBi esa 1ga tеng ekanligini isbotlang. 
32.                        
 
 ekanligini isbotlang. 
33.  Agar           bo‘lsa, u holda                 1 ga yoki 2 ga tеng ekanligini 
isbotlang. 
34.  Agar   
 
 
  qisqarmaydigan  kasr  bo‘lsa, 
 
   
  kasr  qisqarmaydigan  kasr  bo‘la   
oladimi? 
35.  Ikkita  toq  sonlar  ayirmasi   
 
  ga  tеng.  Bu  sonlar  o‘zaro  tub  ekanligini   
isbotlang. 
36.  Quyidagi sonlarning EKUBini toping: 
а
             va                                                va        
         va     bunda                           va             
37.  Quyidagilarni toping: 
               
                    
                     
38.              bo‘lganda  va  faqat  shunday  bo‘lgandagina  (
 
 
 
 
 
)      bo‘lishini   
isbotlang. 
39.  a,b,c  toq  sonlar  uchun              (
   
 
 
   
 
 
   
 
)  tеnglik  o‘rinli  ekanligini          
isbotlang. 
40.  1).  Agar              va        
 
   
 
  bo‘lsa,  u  holda   
                   
 
    
ekanligini isbotlang. Bu yerda 
          
 
      
 
  manfiy bo‘lmagan butun   sonlar;     
musbat butun son. 
2). Birinchi qismda isbotlangan qoida bo‘yicha :  a) (299, 391, 667),           b)    
(588,   2058, 2849) larni toping.