Sonlar nazariyasidan misol va masalalar

 
3-§. Eylеr va Fеrma tеorеmalari 
 
 
Eylеr  tеorеmasi.  Agar 
       va (a, m)=1 bo‘lsa, a
φ(m) 

  1(modm)    bo‘ladi. 
Xususiy holda, agar  m= p tub songa tеng bo‘lsa, Eylеr tеorеmasidan quyidagi Fеrma 
tеorеmasi kеlib chiqadi. 

---

 
 
27 
 
 
Fеrma tеorеmasi. Agar p tub son va (а, p)=1 bo‘lsa, u holda a
p-1

1(mod m) 
bo‘ladi.  Fеrma  tеorеmasidan  ixtiyoriy 
  butun  musbat  soni  uchun   
 
     
        ning bajarilishi kelib chiqadi. 
220. 
a)  agar 
            bo‘lsa,    
  
     ⋮  ;  b)  agar                        
bo‘lsa, 
  
  
   
  
   ⋮    ekanligini isbotlang. 
221. 
Kanonik  yoyilmasiga 
   va     kirmaydigan     natural  sonining       
darajasining birliklar xonasidagi raqami 
  ga teng ekanligini isbotlang. 
222. 
 
   
        ko‘rinishdagi son murakkab ekanligini isbotlang, bu yеrda 
           . 
223. 
 
     
               ekanligini isbotlang . 
224. 
 
  
 sonni 13 gа bo‘lgandagi qoldiqni toping. 
225.  
  
 sonini 
   ga bo‘lgandagi qoldiqni toping. 
226.  
        
          ekanligini isbotlang. 
227.    
   
sonini 15 ga bo‘lgandagi qoldiqni toping. 
228. 
 
  
   
  
 sonini 11 ga bo‘lgandagi qoldiqni toping. 
229.  
   
   
   
 sonini 7 ga bo‘lgandagi qoldiqni toping. 
230.    
   
  sonini 
   ga bo‘lgandagi qoldiqni toping. 
231.              uchun   
   
           ekanligini ko‘rsating. 
232.  
   
   
   
          
  

          ekanligini isbotlang. 
233. Ixtiyoriy      butun  soni  uchun  1)   
 
          ;  2)   
  
             
ekanligini isbotlang. 
234. Agar  p  va  q  lar  har  xil  tub  sonlar  bo‘lsa,   
   
   
   
           
ekanligini isbotlang. 
235.  
   
 sonining  oxirgi ikkita raqamini toping. 
236.  
   
 sonining oxirgi raqamini toping. 
237.    
   
 sonining  oxirgi uchta raqamini toping. 
238. Agar            bo‘lsa,  
 
           ekanligini isbotlang. 
239. Agar  p  tub  son  bo‘lsa,  ∑
 
      
             
   
   
  taqqoslamaning  o‘rinli 
ekanligini ko‘rsating. 
240. Agar p tub son bo‘lsa,  ∑
 
 
 
   
 
 
    ∑
 
 
 
      
 
   
 taqqoslamaning o‘rinli 
ekanligini ko‘rsating. 
241. Agar              bo‘lsa   
 
          taqqoslamaning  eng  kichik  natural 
yechimi φ(m) ning bo‘luvchisi ekanligini isbotlang. 
242.  Agar     ∑
 
 
 
   
 soni 30ga bo‘linsa, u holda 
    ∑
 
 
 
 
   
 sonining ham 30 
ga bo‘linishi isbotlang. 
243. Ixtiyoriy  butun  sonning       darajasi       ga  bo‘linadi  yoki       ga 
bo‘lganda 1 qoldiq qolishini isbotlang. 

---

 
 
28 
 
244. Agar               bo‘lsa,   
      
              ning  bajarilishini 
ko‘psating. Bunda 
  natural son. 
245.    va     lar  natural sonlar  bo‘lsalar,   
  
   
  
           taqqoslamaning 
faqat 
  soni 7 ga karrali bo‘lgandagina o‘rinli ekanligini isbotlang. 
246.  
 
 
             
 
  taqqoslamani qanoatlantiruvchi   tub sonini toping. 
247.       tub son bo‘lsa,   va          lar tub sonlar bo‘lsalar, u holda        
ning murakkab son ekanligini ko‘rsating.