Son tushunchasini kehgaytirish

Son tushunchasini kehgaytirish MASALASI
Kasr va manfiy son tushunchasini vujudga kelishi haqida qisqacha tarixiy ma’lumotlar
Kasr tushunchasini vujudga kelishi haqida qisqacha tarixiy ma’lumotlar. Kasr (arab. كسر - bo‘lak, parcha) matematikada birning bitta yoki bir nechta qismidan (bo‘lagidan) iborat son. Kasr ikkita butun sonning nisbati bilan ifodalanadi:  yoki n/m. Bu yerda m kasrning maxraji, n bo‘lsa surati deyiladi. Maxraj chiziqning ostiga (yoki ketiga), surat bo‘lsa chiziqning ustiga (yoki oldiga) yoziladi.

Maxraj bir sonni necha bo‘lakka bo‘linganini ko‘rsatadi, surat bo‘lsa shu kasrda shunday ulushlardan nechta borligini ko‘rsatadi. Masalan,  kasrida surat 3 dir va u kasr teng uch bo‘lakni ifodalashini ko‘rsatadi. Maxraj bo‘lsa 4 dir va u to‘rtta bo‘lak bir bo‘lib butunni hosil qilishini anglatadi.

Eng qadimgi kasrlar butun sonlarning teskari yozilgani bo‘lgan. Bu qadimiy belgilar ikkining bir qismini, uchning bir qismini, to‘rtning bir qismini va hokazoni ifodalagan. Misrliklarmisrkasrlaridan eramizdanavvaltaxminan 1000 yillardafoydalanishgan. Taxminan 4000 yilavvalmisrliklarsonlarnikasrbilanbo‘lishuchunbirozboshqachauslublardanfoydalanishgan. Ular surati bir bo‘lgan kasrlar ustida amallar bajarish uchun eng kichik umumiy bo‘luvchidan foydalanishgan. Ularning uslublari zamonaviy uslublar bilan bir xil natijalar bergan.

Yunonlar surati bir bo‘lgan kasrlardan foydalanishgan. Eramizdan avvalgi taxminan 530-yilda yunon faylasufiPifagorningshogirdlari ikkining kvadrat ildizini kasr ko‘rinishida yozib bo‘lmasligini aniqlashgan. Eramizdan avvalgi taxminan 150-yildahindistonlikjainchimatematiklar „Sthananga sutra“ (talaffuzi: Sananga sutra) asarini yozishgan. Bu asarda sonlar teoriyasi, arifmetik amallar va kasrlar ustida amallar haqida yozilgan.

Bir sonni ikkinchising ostida yozish va kasrlarni hisoblash usullari bizning eramizning 499-yili atrofidaAryabhattayozgan asarda uchraydi. Sanskrit adabiyotlarda kasrlar yoki ratsional sonlar doim butun son va uning ketidan kasr son ko‘rinishida yozilgan. Kasr son butun son yozilgan qatorning ostiga yozilgan. Kasrning o‘zi ikki qatorda yozilgan. Birinchi qatorda yozilgan surat amsa deb atalgan, ikkinchi qatorga yozilgan maxraj cheda deb atalgan. Agar kasr biror-bir boshqa belgisiz yozilgan bo‘lsa, demak bu kasrni yuqoridagi butun songa qo‘shish kerak bo‘lgan deb tushuniladi. Agar kasrning o‘ng tarafiga kichkina aylana belgisi qo‘yilgan bo‘lsa, bu kasrni butun sondan ayirish kerak bo‘lgan deb tushuniladi. Masalan, hind matematigi Bhaskara I quyidagicha yozgan:

६१२

१११०

४५९

Ya’ni,

6 1 2

1 1 1०

4 5 9

yozuvi 6+1/4, 1+1/5 va 2-1/9 ni ifodalagan.

O‘rta asrlarda yashaganmarokashlikmusulmonmatematikAbuBakr al-Hassar birinchi marta surat ba maxrajni ajratuvchi gorizontal chiziq haqida yozgan. O‘z asarida al-Hassar: „…masalan, agar sizga beshdan uch va beshdan birning uchdan birini yoz deyishsa, bunday deb yozing:  Kasrni shu uslubda yozish ozginadan keyin 13-asrda Leonardo Fibonaccining ishlarida ham uchraydi.

Fors matematigiJamshid al-Kashio‘nli kasrlarni 15-asrda o‘ylab topganman deb aytsa ham, J.Lennart Berggrenga ko‘ra u adashgan. Chunki o‘nli kasrlar undan 5 asr oldin, ya’ni 10-asrda yasha-ganBog‘dodlikmatematikAbu'l-Hasan al-Uqlidisiishlarida uchraydi. Matematika tarixchilari orasida al-Uqlidisi birinchilardan bo‘lgani haqida har xil qarashlar bo‘lsa ham, uning o‘nli kasr tushunchasiga katta hissa qo‘shganiga shubha yo‘q.

Sharq matematiklari o‘nli sanoq sistemasida ishlash bilan birga, o‘nli kasrlar bilan ham bemalol ishlashgan. Bu haqdagi dastlabki ma’lumotlar XV asrning birinchi yarmida yashab ijod etgan al-Koshiga tegishli. U o‘nli kasrlar ustida bemalol amallar bajargan vergulni ham o‘ylab topgan u. (~1442). Masalan: 25,07 ni 14,3 ko‘paytirib 358,501 ko‘rinishda yozishni ko‘rsatgan. π ning 16 aniq o‘nli xonalarini aylanaga ichki va tashqi chizilgan muntazam 3*228 ko‘pyoq yordamida hisoblagan. Bundan 150 yil keyin F.Viet 3*217 burchak yordamida 9 ta aniq xonasini topgan, 1597 yili esa van Roumen al Koshi natijasini takrorladi va keyinroq o‘tib ketdi.

Umuman esa Yevropada 1585 yili flamandiyalik matematik va injener S.Stevin tomonidan kiritildi. Bundan ilgariroq ham o‘nli kasrlar haqida ma’lumotlar mavjud. Mas; Xitoyda Sun dinastiyasi davrida yashab ijod etgan Yan Xuey (1261 y) . Uning misollaridan biri 24,68 * 36,56 = 902,3008