Sodda shakllarni og'irlik markazi

Doira sektori yuzasining og`irlik markazi

Radiusi R, markaziy burchagi 2 ga teng doira sektori yuzasining og`irlik markazining aniqlash uchun X o`qni sektor yuzasining simmetriya o`qi bo`ylab yo’naltiramiz (92- rasm ).
Sektor yuzasining bir qancha elementar sektorlardan tashqil topgan deb karaymiz. Har bir elementar sektorni balandligi R ga teng uch-burchak deb karasak, uning og`irlik markazi O nuqtadan masofada yotadi. OAV Doira sektorining og`irlik markazi, radiusi ga teng AE aylana yoyining og`irlik markazi bilan ustma-ust tushadi. (101) ga asosan

92-rasm
( 101 )
Agar ga teng bo`lsa yarim doira hosil bo`ladi. (101) formuladan yarim doira og`irlik markazinig koordinatani aniqlaymiz.
(102)

X_c=0,64R (y_c=0)

Paralel kuchlarni qo`shishni ko`rgan edik. Teng ta`sir etuvchi kuchning qo`yilish nuqtasini biron qo`zgalmas nuqtaga nisbatan, masalan dekart koordinata sistemasi boshiga nisbatan radius vektor orqali ifodalaylik. Radius vektorni erkin vektordan farqi shundaki, radius vektorni qo`yilish nuqtasi xamma vaqt koordinata boshida bo`ladi. F<sub>1</sub> va F<sub>2</sub> ni teng ta`sir etuvchisini qo`yilish nuqtasini (C ni) ifodalovchi radius vektorni topaylik . 35-rasmdan OAC va OCB dan
r<sub>12</sub>=r<sub>1</sub> -AC r<sub>1,2</sub>=r<sub>2</sub>+BC (31)
расмдан (32)
(31) ifodadan AC va BC ni topib (32) ga qo`yamiz.
bundan (33)

35-rasm. 36- rasm.
(3) formula orqali C nuqtani ifodalovchi radius vektor aniqlanadi. Teng ta`sir etuvchi kuch moduli
F<sub>1,2</sub> = F <sub>1</sub>+ F<sub>2</sub>
Endi paralel kuchlar sistemasi F<sub>1</sub>, F<sub>2</sub>, . . . F<sub>n</sub> berilgan bo`lsin. Ularning teng ta`sir etuvchisining qo`yilish nuqtasini ifodalovchi r radius vektorni topaylik. Oldin uchta kuch uchun r_1,2,3 ni topamiz. F₁ va F₂ ni F_1,2 bilan almashtirganimiz uchun F₁, F₂, F₃ uchta kuchining o`rniga ikkita F<sub>1,2</sub>, va F<sub>3</sub> kuch bilan ish ko`rish mumkin. Bularni F_1,2, va F₃ ning teng ta`sir etuvchisi modulini F<sub>1,2,3</sub> ni yuqorida ko`rgan qoidalarga asosan topamiz.
F_1,2,3 = F₁+ F₂+ F₃ ni qo`yilish nuqtasini iifodalovchi radius vektorni (3) ga asoslanib qo`yidagicha yozish mumkin.
bundan
kelib chiqadi.
Va nixoyat n ta kuchlar sistemasi uchun yozadigan bo`lsak yuqoridagiga asoslanib o`yidagi ifodani olish mumkin.
(34)
Radius vektorlar r va r_i larni proektsiyalari orqali ifodalanishi mumkinligini xisobga olib quyidagilarni xosil qilamiz.
x_c = y_i = (35)
Teng ta`sir etuvchi kuchning C qo`yilish nuqtasi paralel kuchlar markazi deyiladi. Shu C nuqtaning koordinatalari x_c, y_c, z_c (35) ifodalar bilan xisoblanadi.
Endi real jismlarning ogirlik markazi tushunchasini oydinlashtiramiz.
Ma`lumki, jismlar zarralardan tuzilgan. Bu zarralarning barchasini er o`ziga tortib turadi. Boshqacha qilib aytganda er sirti yaqinida joylashgan jismlarni xar bir zarrasi erga ma`lum kuch bilan tortilib turadi. Bu tortishish kuchi - jismlarning ogirlik kuchi deyiladi. Jismlarning zarralariga qo`yilgan bu kuchlar er markazi tomon yo`nalgan bo`ladi. Qattiq jism bilan er markazi tomon yo`nalgan bo`ladi.·Qattiq jism zarralari bilan er markazi orasidagi masofa juda katta bo`lganligi uchun zarralarning ogirlik kuchini o`zaro paralel joylashgan va pastga vertikal yo`nalgan deb qarash mumkin. Jism xamma zarralarni ogirlik kuchining teng ta`sir etuvchisi jismning ogirlik kuchi deyiladi.Qattiq jismning ogirlik kuchi yoki qattiq jism zarralari ogirlik kuchlarining teng ta`sir etuvchisi
jism ogirlik markaziga qo`yilgan bo`lib shu jismning ogirlik kuchini ifodalaydi. Jism xar qanday vaziyatda tursa xam uning ogirlik markazi o`zgarmaydi. Jism ogirlik markazining vaziyati uning shakli yoki jismdagi ayrim modda zarralarining joylashish tartibi o`zgargan taqdirda o`zgarishi mumkin. Jismning ogirlik markazini analitik usulda, grafik va tajriba yo`li bilan aniqlash mumkin. Jismning ogirlik markazi shunday nuqtaki, undan jism ogirlik kuchining teng ta`sir etuvchisi shu nuqtadan o`tadi. Ma`lumki parallel kuchlarning markazi bu kuchlar teng ta`sir etuvchisi qo`yilgan nuqtadir. To`gri burchakli koordinata sistemasining o`qlari yordamida bu nuq?taning vaziyatini aniqlaymiz. A₁, A₂ , va A₃ naqtalarga qo`yilgan va bir tomonga yo`nalgan uchta R₁, R₂ , va R₃ paralel kuch berilgan bo`lsin (36-rasm). A<sub>1</sub> nuqtaning vaziyatini x<sub>1</sub>, y<sub>2</sub>, z<sub>3</sub> koordinalari bilan A<sub>2</sub> nuqtaning vaziyati x<sub>2</sub>, y<sub>2</sub>, z<sub>2</sub> koordinatalar bilan A3 nuqta markazi x<sub>3</sub> y<sub>3</sub>, z<sub>3</sub> aniqlnadi. Uchta o`qqa nibatan barcha kuchlardan momentlar olib,teng ta`sir etuvchining momenti tashkil etuvchi kuchlar momentlarining algeraik yigindisiga tengligini yozamiz.
R<sub>xc</sub> = P<sub>1</sub>x<sub>1</sub>+P<sub>2</sub> x<sub>2</sub> +P<sub>3</sub>x<sub>3</sub> R<sub>yc</sub> =P<sub>1</sub>y<sub>1</sub> +P<sub>2</sub>y<sub>2</sub> +P<sub>3</sub>y<sub>3</sub> R<sub>zc</sub> = P<sub>1</sub>z<sub>1</sub> +P<sub>2</sub> z<sub>2</sub> +P<sub>3</sub>z<sub>3</sub> Bundan teng ta`sir etuvchi qo`yilgan C nuqtaning izlanayotgan koordinatalarini topamiz
yoki (36)
Qattiq jismning ogirlik markazini koordinatalari shu formulalar yordamida topiladi. Jismlarning ogirlik markazini topishga doir ba`zi bir xususiy xollarni ko`rib chiqamiz.
1) Chiziqlarning ogirlik markazini topish.
Bir jinsli to`gri chiziqli AB sterjenning ogirlik markazi uning o`rtasida bo`ladi.
2) Paralelogram perimetrining ogirlik markazi uning diagnallari kesishgan nuqtaga joylashadi.
3) Aylana yoyining ogirlik markazi. Aylana yoyining ogirlik markazini topish uchun yoyning O markazidan OM simmetriya chizigini chizamiz. AMB yoyning ogirlik markazi shu simmetriya chizigida yotadi. Yoyning C ogirlik markazi bilan aylana markazi orasidagi masofa quyidagi formuladan topiladi.


, bunda
l-kesma AB vatarning uzunligi, b-kesma AMB yoyning uzunligi, r-kesma - aylana radiusi
Agar yoy aylananing yarmiga teng bo`lsa, aylana choragiga teng bo`lsa . (37)
Aylananing oltidan bir qismiga teng bo`lsa, (38) bo`ladi.
4) ABCD siniq chiziqning (37- rasm) quyidagi formulalar yordamida aniqlanadi.
(39)
(40)
Umumiy хolda chiziq ogirlik markazini quyidagicha topish mumkin.
(41)

37- rasm 38-расм.

Yuqorida ta`kidlanganidek umumiy xolda AB yoyining ogirlik markazini topaylik. R radiusli markaziy burchagi X o`qi markaziy burchakning bissektritsasi. Bu o`q yoyning simmetriya o`qi bo`lib, yoyning ogirlik markazi shu o`qning qandaydir C nuqtasida bo`ladi. Demak uni xolati bitta X<sub>c</sub> koordinata bilan aniqlanadi. AB yoyni elementar bo`laklarga bo`lamiz.
Chiziqning ogirlik markazini koordinatasi
(42)
formuladan aniqlanadi.
l<sub>k</sub>- k-chi elementni uzunligi x<sub>k</sub> shu elementni ogirlik markazini koordinatasi. Bo`linishlar sonini cheksiz oshirsak yuqoridagi formula quyidagi ko`rinishni oladi.
(43)
MM<sub>1</sub>, elementni xolati φ burchak bilan aniqlanadi. X= R cosα bo`ladi. X va dl ning qiymatini (13) ga qo`ysak integral ostidagi ifoda
(44)
ko`rinishni oladi. AB yoyning uzunligi l=2αR (45) (43) dan
kelib chiqadi.
Demak yoyning ogirlik markazi uning simmetriya o`qida bo`lib, aylana markazidan X=Rsinα⁄α masofada joylashadi. Bu erda α-markaziy burchakning yarmi.