Skalyar maydonning gradienti, yuksaklik chiziqlari va sirtlari. Vektor maydon, vektor chiziqlar, vektor naychalar. Orientirlangan va orientirlanmagan sirtlar. Vektor maydonning sirt bo‘yicha oqimi. Reja

Ta’rif.
 
funksiyalarning 
⃗
yo‘nalish bo‘yicha 
nuqtadagi hosilasi 
deb 
limitga aytiladi, bu limit
tarzida belgilanadi. Shunday qilib, 
Agar 
nuqta tayinlangan bo‘lsa, u holda hosilaning kattaligi faqat 
⃗
nurning yo‘nalishigagina 
bog‘liq bo‘ladi. 
⃗
yo‘nalish bo‘yicha hosila xususiy hosilalarga o‘xshash 
funksiyaning mazkur 
yo‘nalishdagi o‘zgarish tezligini xarakterlaydi. Hosilaning 
⃗
yo‘nalish bo‘yicha absolyut miqdori 
|
|
tezlikning kattaligini aniqlaydi, hosilaning ishorasi esa 
funksiya o‘zgarishining xarakterini 
aniqlaydi: agar 
bo‘lsa, u holda funksiya bu yo‘nalishda o‘sadi, agar
bo‘lsa, 
kamayadi. 
Berilgan yo‘nalish bo‘yicha hosilani hisoblash quyidagi teorema yordamida amalga 
oshiriladi. 

---

Teorema.
Agar 
funksiya differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda uning ixtiyoriy 
⃗
yo‘nalish bo‘yicha hosilasi mavjud va quyidagiga teng: 
bu yerda
⃗
vektorning yo‘naltiruvchi kosinuslari. 
Isboti. 
funksiya teoremaning shartiga ko‘ra differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda uning 
nuqtadagi 
ortirmasini 
(53) 
ko‘rinishda yozish mumkin, bunda 
kattalik
√
ga nisbatan yuqori 
tartibli cheksiz kichik miqdor, ya’ni 
. 
Agar funksiya ortirmasi 
⃗
vektor yo‘nalishidagi nur bo‘ylab qaralsa, u holda 
bo‘lishi ravshan. U holda (1) tenglik bunday ko‘rinishni oladi: 
. 
Tenglikning ikkala qismini 
ga bo‘lamiz va 
da limitga o‘tamiz. Natijada 
,
(53) 
Chunki 
, 
xususiy hosilalar va yo‘naltiruvchi kosinuslar 
ga bog‘liq bo‘lmaydi. 
Shunday qilib, teorema isbotlandi. (2) formulada, agar 
yo‘nalish koordinatalar o‘qining 
yo‘nalishlaridan biri bilan bir xil bo‘lsa, u holda bu yo‘nalish bo‘yicha hosila tegishli xususiy 
hosilaga teng, masalan, agar 
⃗ ⃗
bo‘lsa, u holda 
bo‘ladi, shuning uchun 
va binobarin, 
(2) formuladan ko‘rinadiki, 
⃗
yo‘nalishga qarama-qarshi 
⃗⃗⃗
yo‘nalish bo‘yicha hosila 
⃗
yo‘nalish bo‘yicha teskari ishora bilan olingan hosilaga teng. 

---

Haqiqatan bunda, 
burchaklar 
ga o‘zgarishi kerak, natijada quyidagini hosil 
qilamiz: 
Bu yo‘nalish qarama-qarshisiga o‘zgarganda 
funksiyaning o‘zgarish tezligining 
absolyut miqdori o‘zgarmaydi, uning faqat yo‘nalishi o‘zgaradi xolos. 
Agar, masalan, 
⃗
yo‘nalishda funksiya o‘ssa, u holda qarama-qarshi 
⃗⃗⃗
yo‘nalishda u 
kamayadi va aksincha. 
Agar maydon tekis bo‘lsa, u holda 
⃗
nurning yo‘nalishi uning absissalar o‘qiga og‘ish 
burchagi 
bilan to‘la aniqlanadi. 
⃗
yo‘nalish bo‘yicha hosila uchun formulani tekis maydon 
holida (2) formuladan olish mumkin, bunda 
deb olinadi. U holda 
.