Sirtlar nazariyasining asosiy formulalari. Gauss teoemasi

O’qitish shakli
Ommaviy, jamoaviy
O’qitish vositalari	O’quv qo’llanma, proyektor
O’qitish shart-sharoiti	O’TV bilan ishlashga moslashtirilgan Auditoriya

Ma’ruza mashg’ulotining texnologik haritasi

Ish bosqichlari va vaqti	Faoliyat mazmuni
	Ta’lim beruvchi	Ta’lim oluvchilar
1-bosqich. Kirish	1.1. Mavzu, uning maqsadi, o’quv mashg’ulotidan kutilayotgan natijalar ma’lum qilinadi.	1.1. Eshitadi, yozib oladi.
2-bosqich Asosiy	2.1Silliq sirt, birinchi va ikkinchi kvadratik formalar 2.2 Derivasion formulalar, Kristoffel simvollari 2.3 Gauss formulasi, to'la egrilik, 2.4 Peterson-Kodassi formulalari • Gauss teoremasi mazmunini ayting. • Gauss formulasini keltirib chiqaring. • Gauss formulasi qanday geometrik xossani ifodalaydi. • Peterson-Kodassi formulasini keltirib chiqaring.	Tinglaydilar, yozadilar Talabalar berilgan savollarga javob beradilar.
3- bosqich Yakuniy	3.1. Mavzuga yakun yasaydi va talabalar e’tiborini asosiy masalalarga qaratadi.Faol ishtirok etgan talabalarni rag’batlantiradi. Mustaqil ish uchun vazifa: “ Derivasion formulalar ” so’ziga klaster tuzishni vazifa qilib beradi, baholaydi.	3.1. Eshitadi, aniqlashtiradi. 3.2. Topshiriqni yozib oladi.

SIRTLAR NAZARIYASINING ASOSIY TENGLAMALARI
Gauss formulasi
Bizning maqsadimiz, sirtning to'la egriligi sirtning birinchi kvadratik formasi koeffisiyentlari orqali ifodalanishini ko'rsatish, yani sirt ichki geometriyasi tushunchasi va sirtning izometriyasida o'zgarmasligini ko'rsatishdir. Keltirilgan tasdiq Gauss teoremasining mazmunidir va u sirtlar nazariyasining eng nozik teoremalaridan biridir, chunki va bosh egriliklar sirtning izometriyasida o'zgaradi.
Agar regulyar sirt bo'lsa, u holda
(1)
tengliklar o'rinlidir.
(1)tenglikka asosan nol vektordir. va o'ringa derivasion formulalardagi ifodalarini yozamiz:

va vektorlarning chiziqli bog'lanmagan ekanligidan
(2)
ni hosil qilamiz, bu yerda
(3)
Yuqoridagi jarayonni vektorlarga qo'llab,

tengliklarni xosil qilamiz,bu yerdan esa (1) ga ko'ra
(4)
kelib chiqadi. (2) tenglikda Kristoffel simvollari o'rniga birinchi kvadratik forma koeffisiyentlarini qo'ysak, ushbu Gauss formulasi kelib chiqadi:

Gauss formulasi quyidagi geometrik xossani ifodalaydi. Sirtning to'la egriligi sirt izametriyasida o'zgarmaydi. Sirtning to'la egriligi :

shu sababli, Gauss formulasidan sirtning to'la egriligi birinchi kvadratik formaning koeffisiyentlari va ularning hususiy hosilalari orqali ifodalanishi kelib chiqadi.


Peterson-Kodassi formulalari
(1 )va (4) tengliklardan yana ikkita formula kelib chiqadi:

Bu tengliklardan kelib chiqadigan formulalar Peterson-Kodassi formulalari deyiladi. Ularni quyidagicha yozish mumkin:


Bu formulalarni quyidagicha ham keltirib chiqarish mumkin. Ushbu tengliklar

ning birinchisini bo'yicha, ikkinchisini bo'yicha differensiallaymiz:


Birinchisidan ikkinchisini ayiramiz va

ekanligini etiborga olib, ushbuni xosil qilamiz

Endi derivasion formulalaridan foydalanamiz:

Yana derivasion formulalardan foydalanamiz:

Bu tenglikni ushbu ko'rinishda yozamiz:

Bu esa Peterson-Kodassi tengliklaridir.