Sirtga urinma tekislik va normal

3. Birinchi tur sirt integralining ta’rifi va asosiy xossalari

Agar sirtning har bir nuqtasida urinma tekislik mavjud bо‘lib uning vaziyati nuqtadan nuqtaga о‘tganda uzluksiz о‘zgarsa, bunday sirt silliq deyiladi.

Aytaylik sirtda chegaralangan funksiya berilgan bо‘lsin. Bu sirtni egri chiziqlar yordamida yuzlari ga teng n ta ixtiyoriy qismlarga ajratib sirtning har bir bо‘lagida ixtiyoriy nuqtani olib funksiyaning shu nuqtalardagi qiymatlari larni hisoblaymiz. Funksiyaning qiymatini sirt bо‘lagining yuziga kо‘paytirib

(8)

yig‘indini tuzamiz. Bu yig‘indi sirtda funksiya uchun birinchi tur sirt integrali yig‘indisi deyiladi.

1-ta’rif. Agar (8) yig‘indi yuzchalarning eng katta diametri 0 ga intilganda sirtni yuzchalarga ajratilishi va bu bо‘laklarda nuqtalarni tanlanishga bog‘liq bо‘lmagan aniq limitga ega bо‘lsa, bu limit funksiyadan sirt bо‘yicha olingan birinchi tur sirt integrali deyiladi va kabi belgilanadi, bunda integrallash sohasi.

Agar sirtda 1 bо‘lsa, u holda bо‘ladi, bunda S- sirtning yuzi, ya’ni birinchi tur sirt integrali yordamida sirtning yuzini hisoblash mumkin ekan.

Shunga о‘xshash birinchi tur sirt integrali yordamida sirtning massasini aniqlash ham mumkin. Agar massa taqsimlanishining sirt bо‘yicha zichligi ma’lum bо‘lsa, u holda massa

(9)

bо‘ladi.

Endi sirt integralining ba’zi-bir xassalari bilan tanishamiz.

1-xossa. О‘zgarmas kо‘paytuvchini sirt integrali ishorasining tashqarisiga chiqarish mumkin, ya’ni

bunda -о‘zgarmas son.

2-xossa. Bir nechta integrallanuvchi funksiyalarning algebraik yig‘indisidan sirt bо‘yicha olingan birinchi tur sirt integrali qо‘shiluvchilardan shu sirt bо‘yicha olingan birinchi tkr sirt integrallarining algebraik yig‘indisiga teng:

.

3-xossa. Agar integrallash sohasi, va qismlarga (umumiy ichki nuqtalarga ega bо‘lmagan) bо‘linsa, u holda butun sirt bо‘yicha olingan birinchi tur sirt integrali va qismlar bo’yicha olingan birinchi tur sirt integrallarining yig‘indisiga teng bо‘ladi, ya’ni