Sirt yuzining ta‘rif. Sirt yuzi uchun formula Izometrik sirtlar

IZOTERMIK VA KONFORM SIRTLAR.

Ma‘lum bir sirt berilganda uning birinchi kvadratik formasi topilib,shu kvadratik formaning koeffsientlari orqali sirtdagi yoy uzunligi, ikki chiziq orasidagi burchak, soxaning yuzi aniqlanadi. Bu xilda ish olib borilganda, sirt mustaqil oboekt sifatida qaralib, uning fazodagi vaziyatiga etibor qilinmaydi. Tekislikning o`zini mustaqil qaraganda undagi geometrik munosabatlar planimetriya xosil qilganidek, egri sirt ustida qaralgan "o`lchashga doir masalalar" uning ichki geometriyasini tashkil etadi. Biz ko`ramizki, bu xossalar va ularga tegishli kattaliklar 1-kvadratik formaga bog`liqdir.

Endi masalani teskari tartibda qo`yib, 1-kvadratik forma sirtni to`la (ya‘ni uning shaklini) aniqlaydimi - yo`qmi va ixtiyoriy ravishda berilgan kvadratik formani o`zining 1-kvadratik formasi sifatida "qabul" qiladigan sirt mavjudmi, degan so`roqlarni qo`yib, ularga bu paragrafda javob berishga xarakat qilamiz.

Soddalik uchun, tekshirilayotgan sirtlarni analitik sirtlar deb, ya‘ni r(u,v) ni analitik funktsiya deb faraz qilamiz.

Ta‘rif. Agar ikki S₁ va S₂ sirtning nuqtalari orasida shunday o`zaro bir qiymatli moslik o`rnatilsaki, bu sirtlardagi xar qanday ikkita mos egri chiziqning mos yoylari bir-birga teng bo`lsa, bu sirtlar orasida izotermik moslik o`rnatilgan deyilib, sirtlarning o`zlari xam o`zaro izotermik sirtlar deyiladi.

S₁ va S₂ sirtlardan birini uzluksiz ravishda egib (deformatsiyalab), uni ikkinchi sirtga aylantirish mumkin bo`lsa, u xolda bu sirtlar orasidagi izomeriyani egilish (izgibanie) deb ataymiz.

Izometrik sirtlardagi mos chiziqlar (yoylar), burchaklar, yuzlar o`zaro teng edi. Parametrlashi umumiy bo`lgan ikki sirt S₁ va S₂ orasidagi moslik natijasida tegishli chiziqlar orasidagi burchaklargina o`zaro teng bo`lsa, bunday moslik sirtlargning konform mosligi deyiladi.

Ikki sirt S₁ va S₂ konform mos bo`lishi uchun ularning chiziqli elementlari ds<sup>2</sup> va ds<sub>1</sub><sup>2</sup> proportsional bo`lishi zarur va yetarlidir, ya‘ni

ds²=²ds₁²

Xaqiqatan,

E₁du²+2F₁dudv+G₁dv²=²(u,v)(Edu²+2Fdudv+Gdv²)

yoki

E₁=²E, F₁=²F, G₁=²G

shartlar bajarilsa, u xolda bu sirtlar ustida yotgn ikki juft mos chiziqlar orasidagi tegishli burchaklar teng bo`ladi, chunki bu burchaklar uchun chiqarilgan

соs=

formulaga E, F, G, E₁, F₁, G₁ ning ifodalarini qo`yganda ² qisqarib ketadi. Bu son buzilish (burishish) koeffsienti deyiladi.

Konform moslikning yana bir ajoyib xossasi shuki, S ва S₁ sirtlardagi yetarlicha kichik mos soxalar o`zaro o`xshashdir.