Sirt nuqtalarining klassi katsiyasi 1

Sirt nuqtalarining klassi katsiyasi 1

22 ma’ruza.

Eyler formulasi. Dyupen indikatrisasi.

Sirt nuqtalarining klassi katsiyasi¹.

B.A.Tursunov

Ma’ruza rejasi

1-x. Eyler formulasi.
2-x. Dyupen indikatrisasi.
3-x. Sirt nuqtalarining klassi katsiyasi.

1x. Eyler formulasi.

Tarif-1. Sirt nuqtasida A ¹B matritsaning xos vektorlari aniqlovchi yo’nalishlar bosh yo’nalishlar, bosh yo’nalishlarga mos keluvchi normal egriliklar bosh egriliklar deb ataladi.

Endi T_p -urinma fazoda bazis sifatida birlik ~e₁ va ~e₂ xos vektorlarni olib, ixtiyoriy ~a vektor uchun ’ bilan ~a va ~e₁ orasidagi burchakni belgilaylik.

Teorema-1 (Eyler). Ixtiyoriy ~a 2 T_p urinma vektor uchun
k_n(~a) = k₁ cos² ’ + k₂ sin² ’
tenglik o’rinlidir. Bu yerda k₁; k₂-bosh egriliklar bo’lib, aniqlik uchun k₁ k₂ deb hisoblaymiz.

Isbot. Urinma vektorni ~a = a₁~e₁ + a₂~e₂ ko’rinishda yozib k_n(~a) ni hisoblaymiz:

	II(~a; ~a)			1a1^2	+ 2a2^2		a1^2			a2^2
kn(~a) =			=			= 1			+ 2		=
	I(~a; ~a)			2	2		jaj	2		2
				a1	+ a2					jaj

= ₁cos²’ + ₂sin²’ = k₁cos²’ + k₂sin²’:
Natija. Bosh egriliklar normal egrilikning ekstremal qiymatlaridir.

Haqiqatan ham, urinma fazoda ~e₁ va ~e₂ ortonormal bazislarni tanlasak, ~a yo’nalish aniqlovchi k_n(~a) normal egrilikni ’ ning funksiyasi sifatida qaraymiz:

k_n(’) = k₁cos²’ + k₂sin²’:
’ = 0 va ~a = ~e₁ bo’lganda k_n(0) = k_n(~a) = k₁; ’ = ₂ da ~a₀ bo’lganda k_n( ₂ ) = k_n(~a) = k₂: Ixtiyoriy ’ uchun yuqoridagi formulani
k = (k₁ k₂)cos²’ + k₂
ko’rinishda yozib,

k⁰(’) = 2(k₁ k₂) cos ’ sin ’ = (k₁ k₂) sin 2’

ni hosil qilamiz. sin 2’ = 0 tenglamani yechib ’ = 0 va ’ =		ni topamiz. Demak, k1va k2
2
{ kn(’) funksiyaning ekstremal qiymatlaridir.

¹Bu ma’ruza matni A.Ya.Narmanovning "Di erensial geometriya" darsligidan olingan.

2	B.A.Tursunov
	2-x. D’yupen indikatrisasi.

Regulyar sirtning p nuqtasini ksirlab, ixtiyoriy urinma ~a vektor bo’yicha k_n(~a) nor-mal egrilikni hisoblab, urinma tekislikda ~a yo’nalish bo’yicha boshi p nuqtada joylashgan

1
uzunligi	p			ga teng bo’lgan kesma olib, bu kesmalar uchlarining geometrik o’rnini D’yupen
		jkj
indikatrisasi deb ataymiz.

D’yupen indikatrisasi ikkinchi tartibli chiziqdir. Uni isbotlash uchun sirtning ~r = ~r(u; v) tenglama bilan aniqlangan parametrlash usulini tanlab, p(u₀; v₀) nuqtadan o’tuvchi urinma tekislikda ~r_u(u₀; v₀); ~r_v(u₀; v₀) vektorlarni bazis sifatida olib, a n koordinatalar sis-

temasini kiritamiz. Ixtiyoriy ~a

yo’nalish bo’yicha boshi p nuqtada va uzunligi

p

1

ga

j

kn(~a)

teng bo’lgan kesma oxirini m(x; y) bilan belgilasak,

j

1

~rux + ~rvy

pm~ = ~rux + ~rvy =

p

j~rux + ~rvyj

jkn(~a)j

tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikning ikkala tomonini kvadratga oshirib,

1

E(u0; v0)x^2

+ 2F (u0; v0)xy + G(u0; v0)y^2 =

jk_n(~a)j

tenglamani hosil qilamiz. Bu yerda
L(u₀; v₀)x² + 2M(u₀; v₀)xy + N(u₀; v₀)y^{2 kn(~a) =} E(u₀; v₀)x² + 2F (u₀; v₀)xy + G(u₀; v₀)y²

tenglikni hisobga olsak,

jL(u₀; v₀)x² + 2M(u₀; v₀)xy + N(u₀; v₀)y²j = 1
tenglamani hosil qilamiz. Demak, D’yupen indikatrisasi ikkinchi tartibli chiziqdir.

3-x. Sirt nuqtalarining klassi katsiyasi.

Analitik geometriya kursidan ma’lumki, ikkinchi tartibli chiziqlar uchun quyidagilarni ayta olamiz. Agar

a) LN M² > 0 bo’lsa, Dyupen indikatrisasi ellips bo’ladi;

b) LN M² < 0 bo’lsa, D’yupen indikatrisasi giperbola bo’ladi;

c) LN M² = 0 bo’lsa, D’yupen indikatrisasi 2 ta parallel to’g’ri chiziq bo’ladi.

elliptik nuqta, giperbolik nuqta, parabolik nuqta

Sirt nuqtalarining klassi katsiyasi ...		3
sirtning p nuqtasidagi bosh egriliklar k1; k2 bo’lsa, H =	k1+k2	va K = k1 k2 ifodalar
	2

mos ravishda sirtning p nuqtadagi o’rta va to’liq (yoki Gauss) egriliklari deb ataladi. Bosh egriliklar det jB Aj = 0 tenglamaning yechimi ekanligini hisobga olsak,

	LN M^2			1 EN			2FM + GL
K =			va H =
		EG F^2		2			EG F^2

formulalarni hosil qilamiz. Birinchi kvadratik forma musbat aniqlangani uchun Gauss egrilig-ining ishorasi LN M2 ifodaning ishorasiga bog’liqdir. Agar p0 nuqtada K > 0 bo’lsa, uni elliptik nuqta, bo’lsa, giperbolik nuqta, agar K = 0 bo’lsa, p ni parabolik nuqta deb ataymiz.

Birorta ~a yo’nalish bo’yicha k_n(~a) = 0 bo’lsa, bunday yo’nalishni asimptotik yo’nalish deb ataymiz. ~a = fx; yg vektor aniqlovchi yo’nalish asimptotik yo’nalish bo’lishi uchun Lx² + 2Mxy + Ny² = 0 bo’lishi zarur va yetarlidir (analitik geometriyadan berilgan yo’nalishninh asimptotik bo’lish sharti).
Elliptik nuqtada asimptotik yo’nalishlar yo’q, giperbolik nuqtada ikkita asimptotik yo’nalish mavjud, parabolik nuqtada bitta asimptotik yo’nalish mavjud, va nihoyat, yassilan-ish nuqtasida (ya’ni k₁ = 0; k₂ = 0 bo’lganda) hamma yo’nalishlar asimptotik yo’nalishdir.
sirtda silliq chiziq u = u(t); v = v(t) tenglama bilan berilib, uning har bir nuq-tasida urinma vektori asimptotik yo’nalishni aniqlasa, bunday chiziq asimptotik chiziq dey-iladi. Tabiiyki, sirtda to’g’ri chiziq yotsa, u asimptotik chiziq bo’ladi. Analitik geometriya kursidan bilamizki, bir pallali giperboloidning har bir nuqtasida ikkita asimptotik yo’nalish mavjud. asimptotik chiziq bo’lishi uchun u(t); v(t) funksiyalar Ldu² +2Mdudv +Ndv² = 0 di erensial tenglamaning yechimlari bo’lishi zarur va yetarlidir. sirtda u = const va v = const tenglama bilan aniqlanadigan chiziqlar (ya’ni koordinata chiziqlari) asimptotik chiziqlar bo’lishi uchun L = N = 0 bo’lishi zarur va yetarlidir.