Simmetrik ko`phadlar Reja

Endi f(x1,...,xn)- m darajali simmetrik ko`phad bo`lsin. xn = 0 deb olamiz, induktiv farazimizga ko`ra

• 
  Endi f(x1,...,xn)- m darajali simmetrik ko`phad bo`lsin. xn = 0 deb olamiz, induktiv farazimizga ko`ra
  
• 
  f(x1,x2,...,xn-1,0) = g1((s1)0,....,(sn-1)0),
  
• 
  bunda g1-biror A[y1,...,yn-1] dagi o`lchovi esa  m ( f ning darazasi
  
• 
  xn = 0 qo`yish natijasida pasayishi mumkin) bo`lgan ko`phad, (s1)0,....,(sn-1)0 - esa x1,...,xn-1 larning elementar simmetrik ko`phadi. Bunda ravshanki, deg g1(s1,...,sn-1)  m. Ushbu
  
• 
  f1(x1,...,xn)= f(x1,...,xn)-g1(s1,...,sn-1) (1)
  
• 
  ko`phadning x1,...,xn bo`yicha to`la darajasi m dan katta emas va
  

( ikkita simmetrik ko`phadlarning ayirmasi sifatida) simmetrik ko`phad bo`ladi.

• 
  ( ikkita simmetrik ko`phadlarning ayirmasi sifatida) simmetrik ko`phad bo`ladi.
  
• 
  Bundan tashqari, f1(x1,...,xn-1,0) = 0, bundan esa, f1 ni xn ga bo`linishi kelib chiqadi: f1 = xnf0.Simmetrik ko`phad ekanligidan esa
  
• 
  f1 = -1f1 = x(n)(-1f0), Sn ,
  
• 
  ya`ni f1 x1,x2,...,xn ko`phadlarni o`z ichiga olishi kelib chiqadi, demak u ularning ko`paytmasini sn = x1x2...xn ni o`z ichiga oladi.Shunday qilib,
  
• 
  f1(x1,...,xn) = snf2(x1,...,xn), (2)
  
• 
  bunda f2 – ya`na simmetrik ko`phad bo`ladi va uning darajasi esa
  
• 
  deg f2 = deg f1-n  m-n bo`ladi. Induktiv farazimizga ko`ra shunday g2(y1,...yn) ko`phad mavjud va uni o`lchovi  m-n , hamda
  
• 
  f2(x1,...,xn) = g2(s1,...,sn). (1) va (2) dan, u holda f uchun quyidagi ifodani olamiz
  
• 
  f(x1,...,xn) = g(s1,...,sn-1)+sng2(s1,...,sn),
  

Demak, shunday g = g1(y1,...,yn)+yng2(y1,...,yn) ko`phad mavjud va uni o`lchovi  m.Shunday qilib,agar deg f = m bo`lsa, u holda g ning o`lchovi m dan kichik bo`lmaydi va ravshanki, u aniq m ga teng bo`ladi.

• 
  Demak, shunday g = g1(y1,...,yn)+yng2(y1,...,yn) ko`phad mavjud va uni o`lchovi  m.Shunday qilib,agar deg f = m bo`lsa, u holda g ning o`lchovi m dan kichik bo`lmaydi va ravshanki, u aniq m ga teng bo`ladi.
  
• 
  Yagonaligini isboti.Agar bir biriga teng bo`lmagan ikkita g1, g2 ko`phadlar mavjud bo`lsaki f = g1(s1,...,sn) = g2(s1,...,sn) bo`lsa, u holda biz g(y1,...,yn) = g1- g2  0 munosabatni hosil qilamiz, lekin g(s1,...,sn) = 0. Boshqacha aytadigan bo`lsak, s1,....,sn lar А ustida algebraic bog`liq bo`ladi. Ko`rsatamizki ( induksiyadan foydalanib n bo`yicha) , bunday emas. Haqiqatan ham, teskarisini faraz qilaylik, shunday g(y1,...,yn) minimal darajali ko`phad tanlaylikki, u yk = sk qo`yganda nolga aylansin.Ushbu g ko`phadni yn o`zgaruvchili A[y1,...,yn-1] halqa ustida berilgan deb qaraymiz va uni quyidagicha yozamiz