Shturum-Liuvill masalasi xos son va xos funksiyalar



Download 1,51 Mb.
bet6/16
Sana26.02.2022
Hajmi1,51 Mb.
#465929
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16
Bog'liq
SHTURM-LIUVILL MASALASI. XOS SON VA XOS FUNKSIYALAR .doc.

1.1.5-teorema. Bizga (1.1.28) bir jinsli bo‘lmagan chegaraviy masala berilgan bo‘lsin. oraliqda uzluksiz bo‘lgan va bir jinsli bo‘lmagan chegaraviy shartni qanoatlantiradigan ixtiyoriy funksiyani deylik. U holda, agar , masala faqat trivial yechimga ega bo‘lsa, u holda (1.1.28) masala yechimga ega va bu yechim ushbu
(1.1.31’)
(bunda ) formula bilan beriladi. Agar , ( ) munosabatlar o‘rinli bo‘lsa, u holda va (1.1.28) masalaning yechimi
(1.1.31’’)
ko‘rinishda yoziladi.

1.2. Differensial operatorning xos qiymatlari va xos funksiyalari


Bir jinsli chiziqli tenglama uchun xos qiymat va xos funksiya tushunchasi.
1.2.1-ta’rif. Agar shunday funksiya topilsaki, bu funksiya uchun ushbu
, (1.2.1)
ayniyat o‘rinli bo‘lsa, u holda son operatorning xos qiymati, funksiyaning o‘zi operatorning xos funksiyasi deyiladi.
Ushbu bir jinsli chegaraviy masalani, ya’ni
, , (1.2.2)
masalani ko‘raylik. Shu masalaning trivialmas yechimlariga mos kelgan ning operatorning xos qiymatlari, tegishli trivialmas yechimlar esa xos funksiyalari deyiladi.
Agar va , funksiyalar ning bitta qiymatiga mos kelgan trivialmas yechim, ya’ni xos funksiyalar bo‘lsa, u holda bu funksiyalarning chiziqli kombinatsiyasi ham ga mos kelgan xos funksiya bo‘ladi. Haqiqatan, agar
, ,
ayniyat o‘rinli bo‘lsa, undan

kelib chiqadi. Ammo bir jinsli tenglama chiziqli erkli yechimlari ta ( - tenglamaning tartibi) bo‘lgani uchun ushbu
,
ayniyat ning tengsizlikni qanoatlantiradigan qiymatlari uchun to‘g‘ri bo‘ladi. Agar bo‘lsa, chiziqli bir jinsli tanglamaning ixtiyoriu ta, demak ta ( ) yechimi chiziqli bog‘liq bo‘lgani uchun , ayniyatga kelamiz. Bundan olingan songa trivial yechim mos kelishi chiqadi. Bu esa xos qiymat va xos funksiya ta’rifiga zid.
1.1.1-teoremaga ko‘ra, (1.2.2) masala trivialmas yechimga ega bo‘lishi uchun ushbu
(1.2.3)
((1.1.10)ga qarang) determinant nolga teng bo‘lishi zarur va yetarli. Bunda funksiya ga nisbatan butun analitik funksiya bo‘lib, u operatorning xarakteristik determinanti deyiladi. Bu o‘rinda tushunarli bo‘lishi uchun (1.2.1) tenglamaning
(1.2.4)
(bunda ) boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi fundamental sistemasini
, ,…, (1.2.5)
deb belgilaylik. U holda intervaldan olingan har bir tayin (muayyan) qaiymatlarida (1.2.5) funksiyalar ning butun analitik funksiyalari bo‘ladi. Shu sababli ham analitik funksiya bo‘ladi.
Yuqoridagi fikrlar va murakkab bo‘lmagan mulohazalar yordamida teoremaning o‘rinli ekaniga ishonch hosil qilish mumkin.
1.2.1-teorema. 1) funksiyaning nollari operatorning xos qiymatlaridan iborat; 2) agar funksiya aynan holga teng bo‘lmasa, u holda operatorning xos qiymatlari sanoqli to‘plam bo‘lib, ular chekli limit nuqtaga ega bo‘la olmaydi.
Aytib o‘tamiz, agar funksiyanaing noli bo‘lmasa, u holda operatorning xos qiymatlariga ega bo‘la olmaydi. Ammo xos qiymat ning karrali noli bo‘lishi mumkin.
Agar son funksiyaning oddiy noli bo‘lsa, bu son operatorning oddiy xos qiymati deyiladi.
Bir jinsli bo‘lmagan chiziqli tenglama uchun xos qiymat va xos funksiya tushunchasi. Ushbu
(1.2.6)
masalani qaraylik, bunda - biror parametr, funksiya operator koeffitsiyentlarining aniqlanish intervalida aniqlangan va uzluksiz. Bu masala uchun xos qiymat va xos funksiya tushunchasi tegishli (1.2.2) masala uchun kiritilgan tushunchaning o‘zginasi bo‘ladi. Bu holda asosiy natija quyidagi teorema bilan ifodalanadi.
1.2.2-teorema. ning xos qiymatlardan farq qiladigan barcha qiymatlari uchun ixtiyoriy uzluksiz bo‘lganda (1.2.6) masala yechimga ega.
Teoremaning isbotini keltirmaymiz.
Xulosa. Oddiy differensial tenglamalarga qo‘yiladigan chegaraviy masalalar o‘rganilgan; Differensial operator haqida ma’lumot berilgan; Differensial operatorning xos qiymatlari va operatorlari ta’rifi keltirilgan.

Download 1,51 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish