2b bc ac ab
2a
c
tengsizlik bajarilishini isbotlang
.
‘ + + *
ln a ln b ln c
Agar 1 < a < b < c bo’lsa, u holda
b c b , J 1 1 1 л
a
+ + < — (a + b + c)
ln a ln b ln c 3
i 3/3 3
a b c a b c
ln c ln b ln c bc ac a
b
bo’lishini isbotlang.
nj 2 -л/3 + nl 2 + л/3 > 2, (n = 2,3,4,...) ekanligini isbotlang.
Ixtiyoriy a, b, c nomanfiy sonlar uchun (a + b)(b + c)(c + a) > 8abc
tengsizlik o’rinli bo’lishini isbotlang
.Ixtiyoriy a1, a2,...,an musbat sonlar uchun
a
> nV2
1 + a2 a2 + a3 a 1 + a a + a1
1 2 I I 2 3 I I I n _1 n I I n 1
+ — - +... + - +
a3 V a4 \ a1 у a2
tengsizlik o’rinli bo’lishini isbotlang.
Yensen tengsizligl:
V
a1 + a2 2 +
a3
64.
(Sa)2 + (>bi)2 <TJaf+b2 (a,b >0) tengsizlikn
i
isbotlang. (Ko’rsatma: y = V 1 + x2).
n л a n
V—l— > tengsizlikni isbotlang, bu yerda S = a1 + a2 + ...an, at > 0 .
7=1 s _ a n _ 1
n n
(Vx)p > -p_1 * Vxip, p > 1, x > 0 tengsizlikni isbotlang.
i=1 i=1
Koshl-Bunyakovskly tengsizligi:
(a2 + b2 + c2)(h2 + hi + h2) > 36S2 tengsizlikni isbotlang, bu yerda a, b, c lar uchburchakning tomonlari; ha, hb, hc lar uchburchakning shu tomonlarga tushirilgan balandliklari; S uchburchakning yuzi.
66. ab + ^J(1 _ a2)(1 _b2) < 1, |a| < 1, Ц < 1 ekanligini isbotlang.
Agar a + 2b + 3c = 14 bo’lsa, a2 + b2 + c2 > 14 bo’lishini isbotlang.
Koshi tengsizligi:
a, b, c nomanfiy sonlar uchun a2 + b2 + c2 = 1 shart bajariladi. a + b + c < ekanligini isbotlang.
a,b,c > 0, a + b + c = 1 berilgan. (1_ a),(1_ b)(1_ c) > 8abc, a + b + c = 1 tengsizlikni isbotlang.
Isbotlang: abc > (a + b _ c)(a + c _ b)(b + c _ a), (1 _ b)(1 _ c)8abc, a + b + c =
1
x, y, z > 0, xyz = 1 berilgan. (3x + 2y + z)(3y + 2z + x)(3z + 2x + y) > 216 ni isbotlang.
Bernulli tengsizligi:
V'1 - x + V1 + x + ^1 - x2 + -^1 + x2 = 4 tenglamani yeching.
4Ц - x + ^1 + x = 4 tenglamani yeching.
1 --x
24
tenglamani yeching.
1
36
+
a
.10
.10
10
d
c
a
78. (—)10 + (—)10 + (—)10 + (—)10 > abcd(-^ + + -^j) tengsizlikni isbotlang.
a4 b4 c4 d4
1111
Manbaalar ro’yxati
Hojoo Lee. Topics in Inequalities-Theorems and Techniques. Seoul: 2004.
Andreescu T., Dospinescu G., Cirtoaje V., Lascu M. Old and new inequalities. Gil Publishing House, 2004.
Mathematical Olympiads, Problems and solutions from around the world, 19981999. Edited by Andreescu T. and Feng Z. Washington. 2000.
Math Links, http://www.mathlinks.ro
Art of Problem Solving, http://www.artofproblemsolving.com
Math Pro Press, http://www.mathpropress.com
K.S.Kedlaya, Ahttp://www.unl.edu/amc/a-activities/a4-for-students/s- index.html
T.J.Mildorf, Olympiad Inequalities, http://web.mit.edu/tmildorf
Алфутова Н.Б., Устинов А.В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2002.
А. Engel. Problem-Solving Strategies. Parts 1,2 . Springer-Verlag New York Inc. 1998.
Ayupov Sh., Rihsiyev B., Quchqorov O. «Matematika olimpiadalar masalalari» 1,2 qismlar. T.: Fan, 2004
Математические задачи, http://www.problems.ru
Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. — М.: Мир, 1965.
Беккенбах Э., Беллман Р. Введение в неравенства. — М.: Мир, 1965.
Коровкин П. П. Неравенства. — Вып. 5. — М.: Наука, 1983.
«Математика в школе» (Россия), «Квант» (Россия), «Соровский образовательный журнал» (Россия), “Crux mathematicorum with mathematical Mayhem” (Канада), “Fizika, matematika va informatika” (Узбекистон) журналлари.3. O’rta geometrik va o’rta garmonik qiymatlar orasidagi tengsizlik.
4) Agar a, b, c > 0 va a + b + c — 1
Do'stlaringiz bilan baham: |