Sh. A. Alimov, R. R. Ashurov

---

ÌÀTEMÀTIK TAHLIL

SH. A. ALIMOV, R. R. ASHUROV

Qo'shimchalar

Taqdim qilinayotgan matematik tahlil kursida o'quvchidan boshlang'ich tushunchalarga

ega bo'lishlik talab qilinmasada. Lekin shunday bo'lsada, ushbu darslikda matematik

mantiq va to'plamlar nazariyasining hozirgi kunda an'anaviy bo'lib qolgan belgilashlaridan

foydalaniladi.

Ÿ Q.1. Màtåmatiê mantiq belgilashlari

1. Matematik mantiqning asosiy ob'ekti mulohazalar va ular ustida bajariladigan

turli amallardir. Har bir mulohaza rost yoki yolg'on bo'lishi mumkin. Boshqacha

aytganda, har bir mulohaza uchun quyidagi ikki ¾rost¿ yoki ¾yolg'on¿ qiymatlardan

birigina rost bo'ladi.

Mulohazalar ustidagi eng sodda amallardan biri inkor amalidir. Inkor amali

uchun quyidagi e belgilash ishlatiladi. Masalan, agar A mulohaza bo'lsa, uning

inkori eA orqali belgilanadi va ¾A emas ¿ deb o'qiladi. Quyidagi inkorning rost

qiymatlari o'z-o'zidan tushunarlidir:

agar A rost bo'lsa, eA yolg'on;

agar A yolg'on bo'lsa, eA rost.

Mulohazalar ustidagi muhim amallar qatoriga kon'yunksiya va diz'yunksiyalar

xam kiradi.

Ikki A va B mulohazalarning kon'yunksiyasi

A ∧ B

ko'rinishda belgilanib ( ¾A va B¿ deb o'qiladi), faqat va faqat har ikkala A va B

mulohazalar rost bo'lgandagina rost qiymatni qabul qiladigan mulohazadan iboratdir.

Ikki A va B mulohazalarning diz'yunksiyasi esa

A ∨ B

ko'rinishda belgilanib (¾A yoki B¿ deb o'qiladi), faqat va faqat A va B mulohazalardan

kamida bittasi rost bo'lgandagina rost qiymatni qabul qiladigan mulohazadan iboratdir.

Implikatsiya yoki ¾kelib chiqmoqlik¿ mulohazalar ustidagi yana bir muhim

amallardan biridir.

Implikatsiya

A ⇒ B

1

---

2

SH. A. ALIMOV, R. R. ASHUROV

ko'rinishda belgilanib(¾A mulohaza B ni implikatsiyalaydi¿ yoki ¾agar A bajarilsa,

B

ham bajariladi ¿ deb o'qiladi), quyidagicha aniqlanadigan mulohazani anglatadi:

agar A rost bo'lsa, B ham rostdir,

agar A yolg'on bo'lsa, B rost ham, yolg'on ham bo'lishi mumkin.

Boshqacha aytganda, rost rostni implikatsiyalaydi, yolg'on esa har qanday mulohazani

implikatsiyalashi mumkin.

Ikki A va B mulohazalar ekvivalentlikligi yoki teng kuchlikligi

A ⇔ B

ko'rinishda belgilanib(¾A mulohaza B ga ekvivalent¿ deb o'qiladi), u faqat va faqat

A

va B bir xil qiymat qabul qilgandagina rost bo'ladi.

Ekvivalentlikka misol sifatida quyidagi mulohazani keltiramiz:

(A ⇒ B)

⇔

(eB ⇒eA).

Bu mulohaza teoremalarni teskarisini faraz qilish usuli bilan isbotlashda asqatadi.

Chunonchi, A dan B ni kelib chiqishini isbotlash o'rniga, biz B yolg'on, ya'ni eB

rost deb faraz qilamiz va bundan eA ni keltirib chiqaramiz, ya'ni bu holda A ham

yolg'on bo'lishini ko'rsatamiz.

2. Oddiy mulohazalardan nisbatan murakkabroq mulohazalar tuzilishi mumkin.

Murakkab mulohazalarni tushunishni osonlashtirish maqsadida ba'zi ko'p uchraydigan

ifodalar uchun maxsus belgilashlar kiritish qulay bo'ladi.

Agar P (x) ifoda x ning P xossaga ega ekanligini bildirsa,

∀xP (x)

yozuv orqali ¾ixtiyoriy x uchun P xossa o'rinli¿ degan tasdiqni belgilashga kelishib

olamiz. Bu yerda ∀ belgisi umumiylik kvantori deyiladi.

Quyidagi