|
1 - m a s a l a .
Burchak sinus va kosinuslarining ishoralarini aniq-
lang: 1)
3
4
p
; 2) 745
°
; 3)
-
5
7
p
.
1)
3
4
p
burchakka birlik aylananing ikkinchi choragida joylashgan
nuqta mos keladi. Shuning uchun
sin
3
4
0
p
>
,
cos
3
4
0
p
<
.
63- rasm.
64- rasm.
122
2) 745
2 360
25
o
o
o
= ×
+
bo‘lgani uchun (1; 0) nuqtani 745
°
ga bu-
rishga birinchi chorakda joylashgan nuqta mos keladi. Shuning uchun
sin
, cos
745
0
745
0
o
o
>
>
.
3)
- < -
< -
p
p
p
5
7
2
bo‘lgani uchun (1; 0) nuqtani
-
5
7
p
burchakka
burganda uchinchi chorakda joylashgan nuqta hosil qilinadi. Shuning
uchun
( )
( )
sin
, cos
-
<
-
<
5
7
5
7
0
0
p
p
.
2. T a n g e n s n i n g i s h o r a l a r i
Ta’rifga ko‘ra tg
sin
cos
a
a
a
=
. Shuning uchun,
agar sin
a
va cos
a
bir xil ishoraga ega bo‘lsa,
tg
a >
0 , sin
a
va cos
a
qarama-qarshi ishora-
larga ega bo‘lsa, tg
a <
0 bo‘ladi. Tangens-
ning ishoralari 65- rasmda tasvirlangan.
ctg
a
ning ishoralari tg
a
ning ishoralari
bilan bir xildir.
2 - m a s a l a .
Burchak tangensining isho-
ralarini aniqlang:
1) 260
°
; 2) 3.
1) 180
°
<
260
°
<
270
°
bo‘lgani uchun tg260
°
> 0.
2)
p
p
2
3
< <
bo‘lgani uchun tg 3
0
<
.
M a s h q l a r
287.
Agar:
1)
a
p
=
6
;
2)
a
p
=
3
4
;
3)
a =
210
o
;
4)
a = -
210
°
;
5)
a =
735
°
;
6)
a =
848
°
bo‘lsa, (1; 0) nuqtani
a
burchakka burishda hosil bo‘lgan nuqta
qaysi chorakda yotishini aniqlang.
65- rasm.
123
288.
Agar:
1)
a
p
=
5
4
;
2)
a
p
=
5
6
;
3)
a
p
= -
5
8
;
4)
a
p
= -
4
3
;
5)
a =
740
o
;
6)
a =
510
o
bo‘lsa, sin
a
sonning ishorasini aniqlang.
289.
Agar:
1)
a
p
=
2
3
;
2)
a
p
=
7
6
;
3)
a
p
= -
3
4
;
4)
a
p
= -
2
5
;
5)
a =
290
o
;
6)
a = -
150
o
bo‘lsa, cos
a
sonning ishorasini aniqlang.
290.
Agar:
1)
a
p
=
5
6
;
2)
a
p
=
12
5
;
3)
a
p
= -
3
5
; 4)
a
p
= -
5
4
;
5)
a =
190
o
;
6)
a =
283
o
; 7)
a =
172
o
; 8)
a =
200
o
bo‘lsa, tg
a
va ctg
a
sonlarning ishoralarini aniqlang.
291.
Agar:
1)
p a
p
<
<
3
2
;
2)
3
2
7
4
p
p
a
<
<
;
3)
7
4
2
p a
p
<
<
;
4)
2
2 5
p a
p
<
<
,
bo‘lsa, sin
a
, cos
a,
tg
a
, ctg
a
sonlarning ishoralarini aniqlang.
292.
Agar:
1)
a =
1; 2)
a =
3; 3)
a = -
3,4; 4)
a = -
1,3
bo‘lsa, sin
a
, cos
a,
tg
a
sonlarning ishoralarini aniqlang.
293.
0
2
<
<
a
p
bo‘lsin. Sonning ishorasini aniqlang:
1)
(
)
sin
p
a
2
-
;
2)
(
)
cos
p
a
2
+
; 3)
(
)
tg
3
2
p a
-
; 4)
(
)
sin
p a
-
;
5)
(
)
cos
a p
-
; 6)
(
)
tg
a p
-
; 7)
(
)
cos
a
p
-
2
; 8)
(
)
ctg
a
p
-
2
.
294.
Sinus va kosinuslarning ishoralari bir xil (har xil) bo‘ladigan
a
sonning 0 dan 2
p
gacha oraliqda joylashgan barcha qiymatlarini
toping.
295.
Sonning ishorasini aniqlang:
1)
sin
sin
2
3
3
4
p
p
; 2)
cos
cos
2
3
6
p
p
; 3)
sin
cos
2
3
3
4
p
p
; 4)
tg
sin
5
4
4
p
p
+
.
124
M
(cos
a
; sin
a
)
296.
Ifodalarning qiymatlarini taqqoslang:
1) sin 0,7 va sin 4; 2) cos 1,3 va cos 2,3.
297.
Tenglamani yeching:
1) sin(
)
5
1
p +
=
x
;
2) cos(
)
x
+
=
3
0
p
;
3)
1
cos
2
5
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
p
x
; 4)
1
sin
2
9
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
p
x
.
298.
Agar:
1)
sin
cos
,
a
a
+
= -
1 4 ;
2)
sin
cos
,
a
a
-
=
1 4
bo‘lsa,
a
songa mos keluvchi nuqta qaysi chorakda joylashgan?
299.
(
Beruniy masalasi.
) Tog‘ning balandligi
h
=
BC
va
a = Ð
ABD
burchak ma’lum bo‘lsa, Yer radiusi
R
ni toping (66- rasm).
23- §.
AYNI BIR BURCHAKNING SINUSI, KOSINUSI
VA TANGENSI ORASIDAGI MUNOSABATLAR
Sinus bilan kosinus orasidagi munosabatni
aniqlaymiz.
Aytaylik, birlik aylananig
M
(
x
;
y
) nuqtasi (1; 0) nuqtani
a
bur-
chakka burish natijasida hosil qilingan bo‘lsin (67- rasm). U holda si-
nus va kosinusning ta’rifiga ko‘ra,
x
=
cos
a
,
y
=
sin
a
bo‘ladi.
M
nuqta birlik aylanaga tegishli,
shuning uchun uning (
x
;
y
) koordi-
natalari
x
2
+
y
2
=
1 tenglamani qano-
atlantiradi.
Demak,
sin
2
a +
cos
2
a
=
1. (1)
(1) tenglik
a
ning istalgan qiy-
matida bajariladi va
asosiy trigono-
metrik ayniyat
deyiladi.
66- rasm.
67- rasm.
P
(1; 0)
125
(1) tenglikdan sin
a
ni cos
a
orqali va, aksincha, cos
a
ni sin
a
orqali
ifodalash mumkin:
sin
cos
a
a
= ±
-
1
2
,
(2)
cos
sin
a
a
= ±
-
1
2
.
(3)
Bu formulalarda ildiz oldidagi ishora formulaning chap qismida tur-
gan ifodaning ishorasi bilan aniqlanadi.
1 - m a s a l a .
Agar cos
a = -
3
5
va
p a
p
<
<
3
2
bo‘lsa, sin
a
ni
hisoblang.
(2) formuladan foydalanamiz.
p a
p
<
<
3
2
bo‘lgani uchun sin
a <
0
bo‘ladi, shuning uchun (2) formulada ildiz oldiga «
-
» ishorasini qo‘yish kerak:
sin
cos
a
a
= -
-
= -
-
= -
1
1
2
9
25
4
5
.
2- m a s a l a .
Agar sin
a =
1
3
va
- <
<
p
a
2
0 bo‘lsa, cos
a
ni hisoblang.
- <
<
p
a
2
0 bo‘lgani uchun cos
a >
0 bo‘ladi va shuning uchun
(3) formulada ildiz oldiga «+» ishorasini qo‘yish kerak:
cos
sin
a
a
=
-
=
- =
1
1
2
1
9
2 2
3
.
Endi
tangens bilan kotangens orasidagi bog‘lanishni
aniqlaymiz.
Tangens va kotangensning ta’rifiga ko‘ra:
tg
ctg
sin
cos
,
cos
sin
a
a
a
a
a
a
=
=
.
Bu tengliklarni ko‘paytirib,
tg
ctg
a
a
×
=
1 (4)
tenglikni hosil qilamiz. (4) tenglikdan tg
a
ni ctg
a
orqali, va aksincha,
ctg
a
ni tg
a
orqali ifodalash mumkin:
tg
ctg
a
a
=
1
, (5)
ctg
tg
a
a
=
1
. (6)
(4)–(6) tengliklar
Z
Î
¹
a
p
k
k
,
2
bo‘lganda o‘rinlidir.
126
3- m a s a l a .
Agar tg
a =
13 bo‘lsa, ctg
a
ni hisoblang.
(6) formula bo‘yicha topamiz: ctg
tg
a
a
=
=
1
1
13
.
4- m a s a l a .
Agar sin
a =
0,8 va
p
a
p
2
<
<
bo‘lsa, tg
a
ni hisoblang.
(3) formula bo‘yicha cos
a
ni topamiz.
p
a
p
2
<
<
bo‘lgani uchun
cos
a <
0 bo‘ladi. Shuning uchun
cos
sin
,
,
a
a
= -
-
= -
-
= -
1
1 0 64
0 6
2
.
Demak,
tg
sin
cos
,
,
a
a
a
=
=
= -
-
0 8
0 6
4
3
.
Asosiy trigonometrik ayniyatdan va tangensning ta’rifidan foyda-
lanib,
tangens bilan kosinus orasidagi munosabatni
topamiz.
cos
a ¹
0 deb faraz qilib, sin
2
a +
cos
2
a
=
1 tenglikning ikkala
qismini cos
2
a
ga bo‘lamiz:
cos
sin
cos
cos
2
2
2
2
1
a
a
a
a
+
=
, bundan
1
2
2
1
+
=
tg
cos
a
a
.
(7)
Agar cos
a ¹
0 bo‘lsa, ya’ni
Z
Î
p
+
¹
a
p
k
k
,
2
bo‘lsa, (7) formula to‘g‘ri
bo‘ladi.
(7) formuladan tangensni kosinus va kosinusni tangens orqali ifo-
dalash mumkin.
5- m a s a l a .
Agar cos
a = -
3
5
va
p
a
p
2
<
<
bo‘lsa, tg
a
ni hisoblang.
(7) formuladan hosil qilamiz:
( )
tg
cos
2
2
2
1
1
3
5
16
9
1
1
a
a
=
- =
- =
-
.
Tangens ikkinchi chorakda manfiy, shuning uchun tg
a = -
4
3
.
6- m a s a l a .
Agar tg
a =
3 va
p a
p
<
<
3
2
bo‘lsa, cos
a
ni hisoblang.
(7) formuladan topamiz:
cos
tg
2
2
1
1
1
10
a
a
=
=
+
.
p a
p
<
<
3
2
bo‘lgani uchun cos
a <
0 va shuning uchun
cos
,
a = -
0 1.
127
M a s h q l a r
300.
Agar:
1) cos
a
a
p
p
=
<
<
5
13
3
2
2
va
bo‘lsa, sin
a
va tg
a
ni;
2) sin
,
a
a p
p
=
<
<
0 8
2
va
bo‘lsa, cos
a
va tg
a
ni;
3)
p
<
a
<
-
=
a
p
2
5
3
va
cos
bo‘lsa, sin
a
, tg
a
va ctg
a
ni;
4) sin
a
p a
p
= -
< <
2
5
3
2
va
bo‘lsa, cos
a
, tg
a
va ctg
a
ni;
5) tg
va
a
p a
p
=
<
<
15
8
3
2
bo‘lsa, sin
a
va cos
a
ni;
6)
ctg
va
a
a
p
p
= -
<
<
3
2
3
2
bo‘lsa, sin
a
va cos
a
ni hisoblang.
301.
Asosiy trigonometrik ayniyat yordamida tengliklar bir vaqtda
bajarilishi yoki bajarilmasligini aniqlang:
1) sin
va cos
a
a
=
=
1
1 ;
2) sin
va cos
a
a
=
= -
0
1;
3) sin
va cos
a
a
= -
= -
4
5
3
5
; 4) sin
va cos
a
a
=
= -
1
3
1
2
.
302
. Tengliklar bir vaqtda bajarilishi mumkinmi:
1)
24
1
5
1
tg
va
sin
=
a
=
a
;
2) ctg
va cos
a
a
=
=
7
3
3
4
?
303
. Aytaylik,
a
to‘g‘ri burchakli uchburchakning burchaklaridan
biri bo‘lsin. Agar sin
a =
2 10
11
bo‘lsa, cos
a
va tg
a
ni toping.
Do'stlaringiz bilan baham: |
