|
Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig‘indisi
deb
n
® ¥
da uning dastlabki n ta hadi yig‘indisi intiladigan
songa aytiladi.
n
n
b
q
q
S
-
-
=
1
(1
)
1
formuladan foydalanamiz. Uni bunday yozamiz:
n
n
b
b
q
q
S
q
-
-
-
=
1
1
1
1
.
(4)
Agar
n
cheksiz o‘ssa,
q
<
1 bo‘lgani uchun
n
q
®
0 . Shuning uchun
n
b
q
q
×
-
1
1
ham
n
®¥
da nolga intiladi. (4) formulada birinchi qo‘shiluvchi
n
ga bog‘liq emas. Demak,
n
®¥
da
S
n
yig‘indi
b
q
1
1
-
songa intiladi.
12 – Algebra, 9- sinf uchun
178
Shunday qilib, cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya-
ning
S
yig‘indisi quyidagiga teng:
q
b
S
-
=
1
1
.
(5)
Xususiy holda,
b
1
=
1 bo‘lganda,
q
S
-
=
1
1
ni olamiz. Bu
tenglik odatda ushbu ko‘rinishda yoziladi:
n
q
q q
... q
...
-
-
+ +
+ +
+
=
2
1
1
1
1
.
Bu tenglik va (5) tenglik faqat |
q
|
<
1 bo‘lganda o‘rinli bo‘lishini
ta’kidlab o‘tamiz.
2 - m a s a l a .
1
2
1
6
1
18
1
54
,
,
,
, ...
-
-
cheksiz kamayuvchi geometrik
progressiya yig‘indisini toping.
b
b
1
2
1
2
1
6
=
= -
,
bo‘lgani uchun
q
b
b
b
S
q
-
=
-
=
=
1
,
3
1
1
1
2
formula bo‘-
yicha:
( )
S
=
=
- -
1
2
1
1
3
3
8
.
3 - m a s a l a .
Agar
b
3
= -
1,
q
=
1
7
bo‘lsa, cheksiz kamayuvchi geomet-
rik progressiya yig‘indisini toping.
n
=
3 bo‘lganda
b
n
=
b
1
q
n
-
1
formulani qo‘llasak,
- =
×
æ
è
ç
ö
ø
÷
-
1
1
3 1
1
7
b
,
- =
×
1
1
1
49
b
hosil bo‘ladi, bundan
b
1
= -
49.
(5) formula bo‘yicha
S
yig‘indini topamiz:
S
=
= -
-
-
49
1 1
7
1
6
57 .
4 - m a s a l a .
(5) formuladan foydalanib,
a
=
0,(15)
=
0,151515...
cheksiz o‘nli davriy kasrni oddiy kasr shaklida yozing.
Berilgan cheksiz kasr taqribiy qiymatlarining quyidagi ketma-
ketligini tuzamiz:
a
1
0 15
15
100
=
=
,
,
!
179
a
2
2
0 1515
15
100
15
100
=
=
+
,
,
a
3
2
3
0 151515
15
100
15
100
15
100
=
=
+
+
,
.
Taqribiy qiymatlarni bunday yozish berilgan davriy kasrni cheksiz
kamayuvchi geometrik progressiya yig‘indisi shaklida tasvirlash
mumkinligini ko‘rsatadi:
a
=
+
+
+
15
100
15
100
15
100
2
3
...
.
(5) formulaga ko‘ra:
a
=
=
=
-
15
100
1
1
100
15
99
5
33
.
M a s h q l a r
451.
Ushbu geometrik progressiya cheksiz kamayuvchi bo‘lishini isbotlang:
1) 1
1
2
1
4
,
,
,
... ;
2)
1
3
1
9
1
27
,
,
,
...;
3)
-
81,
-
27,
-
9, ...;
4)
-
16,
-
8,
-
4, ... .
452.
Agar geometrik progressiyada:
1)
b
1
=
40,
b
2
= -
20;
2)
b
7
=
12,
b
11
3
4
=
;
3)
b
7
= -
30,
b
6
=
15;
4)
b
5
= -
9,
b
9
1
27
= -
bo‘lsa, u cheksiz kamayuvchi bo‘ladimi? Shuni aniqlang.
453.
Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig‘indisini toping:
1) 1
1
3
1
9
,
,
,
... ;
2) 6
1
6
, ,
,
1
...;
3)
-
25,
-
5,
-
1, ...;
4)
-
-
-
7
1
7
,
,
,
1
... .
454.
Agar cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyada:
1)
q
=
1
2
,
b
1
1
8
=
;
2)
q
= -
1
3
,
b
1
9
=
;
3)
q
=
1
3
,
b
5
1
81
=
;
4)
q
= -
1
2
,
b
4
1
8
= -
bo‘lsa, uning yig‘indisini toping.
180
455.
n
- hadining formulasi bilan berilgan quyidagi ketma-ketlik chek-
siz kamayuvchi geometrik progressiya bo‘la oladimi?
1)
b
n
=
3
×
(
-
2)
n
;
2)
b
n
= -
3
×
4
n
;
3)
( )
n
n
b
-
= × -
1
1
3
2
;
4)
( )
n
n
b
-
= × -
1
1
2
5
456.
Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig‘indisini toping:
1) 12
4
3
, ,
,
4
...;
2) 100,
-
10, 1 ... .
457.
Agar cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyada:
1)
q
=
1
2
,
b
5
2
16
=
;
2)
q
=
3
2
,
b
4
9
8
=
bo‘lsa, uning yig‘indisini toping.
458.
Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig‘indisi 150 ga
teng. Agar:
1)
q
=
1
3
bo‘lsa,
b
1
ni;
2)
b
1
=
75 bo‘lsa,
q
ni toping.
459.
Qirrasi
a
bo‘lgan kubning ustiga qirrasi
a
2
bo‘lgan kub qo‘yishdi,
uning ustiga qirrasi
a
4
bo‘lgan kub qo‘yishdi, so‘ngra uning
ustiga qirrasi
a
8
bo‘lgan kub qo‘yishdi va hokazo (80- rasm).
Hosil bo‘lgan shaklning balandligini toping.
80- rasm.
81- rasm.
R
2
R
1
181
460.
60
°
li burchakka bir-biriga urinuvchi aylanalar ketma-ket ichki
chizilgan (81- rasm). Birinchi aylananing radiusi
R
1
ga teng.
Qolgan aylanalarning
R
2
,
R
3
, ...
, R
n
, ... radiuslarini toping va
ular cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya tashkil qilishini
ko‘rsating.
R
1
+
2(
R
2
+
R
3
+
...
+
R
n
+
...) yig‘indi birinchi aylana-
ning markazidan burchakning uchigacha bo‘lgan masofaga teng-
ligini isbotlang.
461.
Cheksiz davriy o‘nli kasrni oddiy kasr shaklida yozing:
1) 0,(5); 2) 0,(9); 3) 0,(12); 4) 0,2(3).
VI b o b g a d o i r m a s h q l a r
462.
Arifmetik progressiyaning ayirmasini toping, uning to‘rtinchi
va beshinchi hadlarini yozing:
1) 4 4
4
1
3
2
3
,
,
,
...;
2) 3
1
2
1
2
, ,
,
3 2
...;
3)
1,
,
,
1 + 3 1 + 2 3 ... ;
4)
2 2
2
...
,
,
,
-
-
3
6
.
463.
n
- hadi
a
n
= -
2(1
-
n
) formula bilan berilgan ketma-ketlik arif-
metik progressiya bo‘lishini isbotlang.
464.
Agar arifmetik progressiyada:
1)
a
1
=
6,
d
=
1
2
bo‘lsa,
a
5
ni hisoblang;
2)
a
1
3
1
3
= -
,
d
= -
1
3
bo‘lsa,
a
7
ni hisoblang.
465.
Agar arifmetik progressiyada:
1)
a
1
= -
1,
a
2
=
1;
2)
a
1
=
3,
a
2
= -
3
bo‘lsa, uning dastlabki yigirmata hadining yig‘indisini toping.
466.
Agar arifmetik progressiyada:
1)
a
1
= -
2,
a
n
= -
60,
n
=
10;
2)
a
1
1
2
=
,
n
a
=
1
2
25 ,
n
=
11
bo‘lsa, uning dastlabki
n
ta hadining yig‘indisini toping.
467.
Agar:
1)
-
38
+
(
-
33)
+
(
-
28)
+
...
+
12; 2)
-
17
+
(
-
14)
+
(
-
11)
+
...
+
13
yig‘indining qo‘shiluvchilari arifmetik progressiyaning ketma-
ket hadlari bo‘lsa, shu yig‘indini toping.
182
468.
Geometrik progressiyaning maxrajini toping hamda uning
to‘rtinchi va beshinchi hadlarini yozing:
1) 3
1
3
, ,
,
1
...;
2)
1
4
1
8
1
16
,
,
,
...
-
;
3)
3,
, ,
3 1 ...;
4)
5
5
,
,
,
2 10 ...
-
.
469.
Geometrik progressiyaning
n
-hadi formulasini yozing:
1)
-
2, 4,
-
8, ...;
2)
...
,
2
,
1
,
2
1
-
-
470.
Agar geometrik progressiyada:
1)
b
1
=
2,
q
=
2,
n
=
6;
2)
b
1
1
8
=
,
q
=
5,
n
=
4
bo‘lsa,
b
n
ni toping.
471.
Agar geometrik progressiyada:
1)
b
1
1
2
=
,
q
= -
4,
n
=
5;
2)
b
1
=
2,
q
= -
1
2
,
n
=
10;
3)
b
1
=
10,
q
=
1,
n
=
6;
4)
b
1
=
5,
q
= -
1,
n
=
9
bo‘lsa, uning dastlabki
n
ta hadining yig‘indisini toping.
472.
Geometrik progressiyaning dastlabki
n
ta hadining yig‘indisini
toping:
1) 128, 64, 31, ...,
n
=
6;
2) 162, 54, 18, ...,
n
=
5;
3)
2
3
1
2
3
8
,
...
,
,
,
n
=
5;
4)
3
4
1
2
1
3
,
...
,
,
,
n
=
4.
473.
Berilgan geometrik progressiya cheksiz kamayuvchi ekanligini
isbotlang va uning yig‘indisini toping:
1)
,
,
,
...
-
-
-
1
1
1
2
4
8
;
2)
-
-
1
1
4
1
16
,
...
,
,
.
474.
Agar arifmetik progressiyada
a
1
2
1
2
=
va
a
8
23
1
2
=
bo‘lsa, uning
ayirmasini toping.
475.
Agar arifmetik progressiyada:
1)
a
1
=
5,
a
3
=
15;
2)
a
3
=
8,
a
5
=
2
bo‘lsa, uning dastlabki beshta hadini yozing.
Do'stlaringiz bilan baham: |
