Sh. A. Alimov, O. R. Xolmuhamedov, M. A. Mirzaahmedov

2

355. 
     1 108
     

o‘paytuvchilarga ajrating (355—360):
a + b + c(a + b); 3) x + 3a(x + y) + y\
m-n + p(m-n); 4) x + 2a(x-y)-y.
(х + у) + (л: + у)^2: 3) 2m(m-n) + (m-nf;
(a-bf +a-b; 4) 4g(p-\) + (p-lf.
2m(m-n)+m-n; 3) 2m(m-n)-n + m\
4q(p-\) + p-\\ 4) 4q(p-\) + \-p.
a(x-c)+bc-bx\ 3) 3a(2b + c)+Sb+4c;
a(b + c) + db + dc\ 4) 2jc(3jc-4>;)-6jc + 8y.
ac + bc-2ad -2bd; 3) 2bx-3ay-6by + ax\
ac - 3bd + ad- 3be; 4) 5ay - 3bx + ax-15by. xy² -by² -ax + ab + y² -я; 2) ax²-ay-bx²+cy + by-cx²

361. 
     Hisoblang:
     

1. 
   139 • 15 +18 • 139 +15 ■ 261 +18 • 261;
   
2. 
   125-48-31-82-31-43+ 125-83;
   
3. 
   14,713-214,7 + 13-5,3-2-5,3;
   
4. 
   3--4- + 4,2-- + 3--2—+2,8-1.
   

^} 3 5 3 3 5 3

361. 
     Ifodaning son qiymatini toping:
     

1. 
   5a²-5ax-7a + 7x, bunda x = -3, a = 4;
   
2. 
   m² -тп-Ът + Ъп, bunda m = 0,5, и = 0,25;
   
3. 
   a² +ab-5a-5b, bunda o = 6,6, 6 = 0,4;
   
4. 
   a² - ab - 2a + 26, bunda a = — ,6 = 0,15.
   

⁷ 20

361. 
     Hisoblang:
     

1. 
   287² -287-48 + 239-713; 2) 73,4² + 73,4-17,2 - 90,6-63,4.
   

361. 
     Tenglamani yeching:
     

1. 
   jc(jc-4) + jc-4 = 0; 2) /(/ + 7)-4/-28 = 0.
   

O' I Ali bilan Valining massasi birgalikda 5 ta tarvuz massasiga teng. ^ I Valining massasi 1 ta qovun massasidan 4 marta ko‘p. Vali bilan

2. 
   ta qovunning birgalikdagi massasi 3 ta tarvuz massasiga teng. Alining massasi nechta qovunning massasiga teng?
   

20. 
    §,' YigHndining kvadrati. Ayirmaning kvadrati /
    

0‘rta Osiyo xalqlari madaniyatini o‘rta asrlarda dunyo madaniyati- ning oldingi qatoriga olib chiqqan buyuk mutafakkirlardan biri Abu Ali ibn Sinoning matematikaga oid ishlarida sonlami kvadrat va kubga ko‘tarish amallari o‘rganilgan.
I
(1)

Abn Ali ibn Sino (980—1037) buyuk mutafakkir, vatandoshimiz
(а + bf = (a + b) (a + b) = a² + ab + ab + b² =a² +2ab + b²,

ya m
kkita son yig‘indisining kvadrati (a + 6)²ni qaraymiz. Ko'phadni ko'phadga ko'paytirish qoidasidan foydalanib, hosil qilamiz: 109
(a + bf = J
Ikki son yig'indisining kvadrati birinchi son kvadrati, qo'shuv birinchi son bilan ikkinchi son ko'paytmasining ikkilangani, qo'shuv ikkinchi son kvadratiga teng.
(1) formulani 13- rasmda tasvirlangan kvadratning yuzini ko‘zdan kechirib, osongina hosil qilish mumkinligini aytib o‘tamiz.
Endi ikki son ayirmasining kvadratini qaraymiz:
(а-bf =(a-b)(a-b) = a² - ab-ab + b² = a² - 2ab + b²,
ya m

(2)

Ikki son ayirmasining kvadrati bi­rinchi son kvadrati, ayiruv birinchi son bilan ikkinchi son ko'paytmasining ikki­langani, qo'shuv ikkinchi son kvadratiga teng.
(1) va (2) tengliklarda a va b istalgan sonlar yoki algebraik ifodalardir.
(1) va (2) formulalami qo'llashga doir misollar:
110

	(B	ab
	ab	*
	a	b

1. 
   (2т + 3kf = (2mf +2-2т-3к + (3к)² = 4т² + \2тк + 9к²\
   
2. 
   (5а² -З)² = (5я²)² -2-5а² -З + З² = 25а⁴ -ЗОя² +9;
   
3. 
   (-а - 3bf = ((-1) (а + 3b)f = (-1 f(a + 3bf =
   

= (a + 3bf = a² +2a-3b + (3bf = a² +6ab + 9b².
Zaruriy hisoblashlarni og‘zak bajarib, oraliq natijalami yozmaslik mumkin. Masalan, birdaniga bunday yozish mumkin:
(5a²-7b²)² =25a⁴ -70a²b² + 49b⁴.
Yig'indi yoki ayirmaning kvadrati formulalari qisqa ko‘paytirish formulalari deyiladi va ba’zi hollarda hisoblashlarni soddalashtirish uchun qo‘llaniladi. Masalan:

1. 
   99² = (100-1)² = 10000-200 +1 = 9801;
   
2. 
   52² =(50 + 2)² = 2500 + 200 + 4 = 2704.
   

(1) formula (1 +a)² ifodaning qiymatlarini taqribiy hisoblashlarda ham qo‘llaniladi. a son musbat yoki manfiy son bo‘lib, uning moduli lga nisbatan kichik bo‘lsa (masalan, о = 0,0032 yoki a = -0,0021), u holda a² son yanada kichik bo‘ladi va shu sababli
(1 + я)²= 1 + 2 a + a²
tenglikni (1+я)²=1+2я taqribiy tenglik bilan almashtirish mumkin. Masalan:

1. 
   (1,002)²= (1 + 0,002)²= 1 + 2 • 0,002= 1,004;
   
2. 
   (0,997)²= (1 - 0,003)²- 1 - 2 • 0,003 = 0,994.
   

Yig‘indining kvadrati va ayirmaning kvadrati formulalari ko‘phad- ni ko‘paytuvchilarga ajratishda ham qo‘llaniladi, masalan:

1. 
   x² +10x + 25 = x² +2-5-X + 5² = (x + 5)² ;
   
2. 
   a⁴ - 8a²b³ +16b⁶ = (a² f - 2 ■ a² ■ 4b³ + (4b³ f = (a² - 4b³ )². Masala. Formulani isbotlang:
   

(a + b)³ = a³ + 3 a²b + 3 ab² + b³.1 (3)
д (a + b'f =(a + b) (a+bf =(a + b) (a² +2ab + b²) =