|
Agar tengsizlikning chap qismida kvadrat funksiya, o‘ng
qismida esa nol tursa, bunday tengsizlik kvadrat tengsizlik
deyiladi.
II B O B.
KVADRAT
TENGSIZLIKLAR
6-§.
!
3
d
m
2
d
m
x
dm
2 dm
30
Masalan,
2
x
2
– 3
x
+ 1
³
0, –3
x
2
+ 4
x
+ 5 < 0
tengsizliklar kvadrat tengsizliklardir.
Bir noma’lumli
tengsizlikning yechimi
deb, noma’lumning shu
tengsizlikni to‘g‘ri sonli tengsizlikka aylantiruvchi qiymatiga aytilishini
eslatib o‘tamiz.
Tengsizlikni yechish
— uning barcha yechimlarini topish yoki
ularning yo‘qligini ko‘rsatish demakdir.
2- m a s a l a .
Tengsizlikni yeching:
x
2
– 5
x
+ 6 > 0.
x
2
– 5
x
+ 6 = 0 kvadrat tenglama ikkita turli
x
1
= 2,
x
2
= 3 ildizga
ega. Demak,
x
2
– 5
x
+ 6 kvadrat uchhadni ko‘paytuvchilarga ajratish
mumkin:
x
2
– 5
x
+ 6 = (
x
– 2)(
x
– 3).
Shuning uchun berilgan tengsizlikni bunday yozsa bo‘ladi:
(
x
– 2)(
x
– 3) > 0.
Agar ikkita ko‘paytuvchi bir xil ishoraga ega bo‘lsa, ularning
ko‘paytmasi musbat ekani ravshan.
1) Ikkala ko‘paytuvchi musbat, ya’ni
x
– 2 > 0 va
x
– 3 > 0 bo‘lgan
holni qaraymiz.
Bu ikki tengsizlik quyidagi sistemani tashkil qiladi:
{
.
x –
x –
2 > 0,
3 > 0
Sistemani yechib,
{
x > ,
x >
2
3
ni hosil qilamiz, bundan
x
> 3.
Demak, barcha
x
> 3 sonlar (
x
– 2)(
x
– 3) > 0 tengsizlikning
yechimlari bo‘ladi.
2) Endi ikkala ko‘paytuvchi manfiy, ya’ni
x
–2<0 va
x
–3<0 bo‘lgan
holni qaraymiz.
Bu ikki tengsizlik quyidagi sistemani tashkil qiladi:
{
2 < 0,
3 < 0
x –
x –
.
Sistemani yechib,
{
2
3
x < ,
x <
ni hosil qilamiz, bundan
x
< 2.
31
Demak, barcha
x
< 2 sonlar ham (
x
– 2)(
x
– 3) > 0 tengsizlikning
yechimlari bo‘ladi.
Shunday qilib, (
x
– 2)(
x
– 3) > 0 tengsizlikning, demak, berilgan
x
2
– 5
x
+ 6 > 0 tengsizlikning ham, yechimlari
x
< 2, shuningdek,
x
> 3
sonlar bo‘ladi.
J a v o b :
x
< 2,
x
> 3.
Umuman, agar
ax
2
+
bx
+
c
= 0 kvadrat tenglama ikkita turli
ildizga ega bo‘lsa, u holda
ax
2
+
bx
+
c
> 0 va
ax
2
+
bx + c
< 0
kvadrat tengsizliklarni yechishni, kvadrat tengsizlikning chap
qismini ko‘paytuvchilarga ajratib, birinchi darajali tengsizliklar
sistemasini yechishga keltirish mumkin.
3- m a s a l a .
–3
x
2
– 5
x
+ 2 > 0 tengsizlikni yeching.
Hisoblashlarni qulayroq olib borish uchun berilgan tengsizlikni
birinchi koeffitsiyenti musbat bo‘lgan kvadrat tengsizliklar shaklida
tasvirlaymiz. Buning uchun uning ikkala qismini –1 ga ko‘paytiramiz:
3
x
2
+ 5
x
– 2 < 0.
3
x
2
+5
x
–2=0 tenglamaning ildizlarini topamiz:
1,2
1
2
–5± 25+24
–5±7
6
6
1
3
=
=
,
= ,
= –2.
x
x
x
Kvadrat uchhadni ko‘paytuvchilarga ajratib, quyidagini hosil qilamiz:
( )
1
3
3
–
( + 2) < 0.
x
x
Bundan ikkita sistemani olamiz:
ì
ì
>
<
ï
ï
í
í
ï
ï
+ <
+ >
î
î
1
1
3
3
–
0,
–
0,
2
0;
2
0.
x
x
x
x
Birinchi sistemani bunday yozish mumkin:
ì >
ï
í
ï <
î
1
3
,
–2,
x
x
bu sistema yechimlarga ega emasligi ko‘rinib turibdi.
!
32
Ikkinchi sistemani yechib, quyidagini topamiz:
1
3
,
–2,
x
x
ì <
ï
í
ï >
î
bundan
1
3
–2
.
x
<
<
Demak,
( )
+
<
1
3
3
–
(
2)
0
x
x
tengsizlikning, ya’ni –3
x
2
– 5
x
+ 2 > 0
tengsizlikning yechimlari
( )
1
3
–2;
intervaldagi barcha sonlar bo‘ladi.
J a v o b :
<
<
1
3
–2
.
x
M a s h q l a r
60.
(Og‘zaki.) Quyidagi tengsizliklardan qaysilari kvadrat tengsizlik
ekanini ko‘rsating:
1)
x
2
– 4 > 0;
2)
x
2
– 3
x
– 5
£
0; 3) 3
x
+ 4 > 0;
4) 4
x
– 5 < 0;
5)
x
2
– 1
£
0;
6)
x
4
– 16 > 0.
61.
Quyidagi tengsizlikni kvadrat tengsizlikka keltiring:
1)
x
2
< 3
x
+ 4;
2) 3
x
2
– 1 >
x
;
3) 3
x
2
<
x
2
– 5
x
+ 6;
4) 2
x
(
x
+ 1) <
x
+ 5.
62.
(Og‘zaki.) 0; –1; 2 sonlaridan qaysilari
1)
x
2
+ 3
x
+ 2 > 0;
2) –
x
2
+ 3,5
x
+ 2
³
0;
3)
x
2
–
x
– 2
£
0;
4)
+ +
2
3
4
–
< 0
x
x
tengsizlikning yechimlari bo‘ladi?
Tengsizlikni yeching (
63—65
):
63
. 1) (
x
– 2)(
x
+ 4) > 0;
2) (
x
– 11)(
x
– 3) < 0;
3) (
x
– 3)(
x
+ 5) < 0;
4) (
x
+ 7)(
x
+ 1) > 0.
64.
1)
x
2
– 4 < 0; 2)
x
2
– 9 > 0; 3)
x
2
+ 3
x
< 0; 4)
x
2
– 2
x
> 0.
65.
1)
x
2
– 3
x
+ 2 < 0;
4)
x
2
+ 2
x
– 3 > 0;
2)
x
2
+
x
– 2 < 0;
5) 2
x
2
+ 3
x
– 2 > 0;
3)
x
2
– 2
x
– 3 > 0;
6) 3
x
2
+ 2
x
– 1 > 0.
33
66.
Tengsizlikni yeching:
( )
2
1
3
1) 2
–
0;
x
×
>
( )
2
1
6
2) 7
–
0;
x
×
£
3) 3
x
2
– 3 <
x
2
–
x
;
4) (
x
– 1)(
x
+ 3) > 5.
67.
Funksiyaning grafigini yasang. Grafik bo‘yicha
x
ning funksiya
musbat qiymatlar; manfiy qiymatlar; nolga teng qiymat qabul
qiladigan barcha qiymatlarini toping:
1)
y
= 2
x
2
;
2)
y
= –(
x
+ 1,5)
2
;
3)
y
= 2
x
2
–
x
+ 2;
4)
y
= –3
x
2
–
x
– 2.
68.
x
1
va
x
2
sonlar (bunda
x
1
<
x
2
)
y
=
ax
2
+
bx + c
funksiyaning
nollari ekani ma’lum. Agar
x
0
son
x
1
va
x
2
orasida yotsa, ya’ni
x
1
<
x
0
<
x
2
bo‘lsa, u holda
+
+
<
2
0
0
(
)
0
a ax
bx
c
tengsizlik baja-
rilishini isbotlang.
7- §.
KVADRAT TENGSIZLIKNI KVADRAT
FUNKSIYA GRAFIGI YORDAMIDA YECHISH
Kvadrat funksiya
y
=
ax
2
+
bx + c
(bunda
a
¹
0) formula bilan
berilishini eslatib o‘tamiz. Shuning uchun kvadrat tengsizlikni yechish
kvadrat funksiyaning nollarini va kvadrat funksiya musbat yoki manfiy
qiymatlar qabul qiladigan oraliqlarni izlashga keltiriladi.
1- m a s a l a .
Tengsizlikni grafik yordamida yeching:
2
x
2
–
x
– 1
£
0.
y
= 2
x
2
–
x
– 1 kvadrat funksiyaning grafigi — tarmoqlari yuqo-
riga yo‘nalgan parabola.
Bu parabolaning
Ox
o‘qi bilan kesishish nuqtalarini topamiz.
Buning uchun 2
x
2
–
x
– 1 = 0 kvadrat tenglamani yechamiz. Bu tengla-
maning ildizlari:
1,2
1
2
2
1
1 8
1 3
1
4
4
=
;
= 1,
= – .
x
x
x
± +
±
=
Demak, parabola
Ox
o‘qini
=
1
2
–
x
va
x
= 1 nuqtalarda kesadi (18- rasm).
2
x
2
–
x
– 1
£
0 tengsizlikni
x
ning funksiya nolga teng bo‘lgan yoki
funksiyaning qiymatlari manfiy bo‘lgan qiymatlari qanoatlantiradi, ya’ni
3 – Algebra, 9- sinf uchun
34
x
ning shunday qiymatlariki, bu qiymatlarda
parabolaning nuqtalari
Ox
o‘qida yoki shu
o‘qdan pastda yotadi. 18- rasmdan ko‘rinib
turibdiki, bu qiymatlar
1
2
– ; 1
é
ù
ê
ú
ë
û
kesmadagi
barcha sonlar bo‘ladi.
J a v o b :
£
£
1
2
–
1.
x
Bu funksiyaning grafigidan berilgan
tengsizlikdan faqat ishorasi bilan farq
qiladigan boshqa tengsizliklarni yechishda ham foydalanish mumkin.
18- rasmdan ko‘rinib turibdiki:
1) 2
x
2
–
x
– 1 < 0 tengsizlikning yechimlari
1
2
–
1
x
<
<
intervaldagi
barcha sonlar;
2) 2
x
2
–
x
– 1 > 0 tengsizlikning yechimlari
1
2
–
x
<
va
x
> 1
oraliqlardagi barcha sonlar bo‘ladi;
3) 2
x
2
–
x
– 1
³
0 tengsizlikning yechimlari
1
2
–
x
£
va
x
³
1 oraliqlar-
dagi barcha sonlar bo‘ladi.
2- m a s a l a .
Tengsizlikni yeching:
4
x
2
+ 4
x
+ 1 > 0.
y
= 4
x
2
+ 4
x
+ 1 funksiya grafigining eskizini chizamiz. Bu
parabolaning tarmoqlari yuqoriga yo‘nalgan. 4
x
2
+ 4
x
+ 1 = 0 tenglama
bitta
1
2
–
x
=
ildizga ega, shuning uchun parabola
Ox
o‘qiga
(
)
1
2
– ; 0
nuqtada urinadi. Bu funksiyaning grafigi 19- rasmda tasvirlangan.
Berilgan tengsizlikni yechish uchun
x
ning qanday qiymatlarda funk-
siyaning qiymatlari musbat bo‘lishini aniqlash kerak. Shunday qilib,
4
x
2
+ 4
x
+ 1 > 0 tengsizlikni
x
ning parabolaning nuqtalari
Ox
o‘qidan
yuqorida yotuvchi qiymatlari qanoatlantiradi. 19- rasmdan ko‘rinib turibdiki,
bunday qiymatlar
x
= –0,5 dan boshqa barcha haqiqiy sonlar bo‘ladi.
J a v o b :
x
¹
–0,5.
19- rasmdan ko‘rinib turibdiki:
1) 4
x
2
+ 4
x
+ 1
³
0 tengsizlikning yechimi barcha haqiqiy sonlar
bo‘ladi;
y
+
+
0
1
y =
2
x
2
–
x
– 1
-
1
2
x
18- rasm.
35
2) 4
x
2
+ 4
x
+ 1
£
0 tengsizlik bitta
1
2
–
x
=
yechimga ega;
3) 4
x
2
+ 4
x
+ 1 < 0 tengsizlik yechimlarga ega emas.
Agar 4
x
2
+ 4
x
+ 1 = (2
x
+ 1)
2
ekani e’tiborga olinsa, bu tengsiz-
liklarni og‘zaki yechish mumkin.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
