Sh. A. Alimov, O. R. Xolmuhamedov, M. A. Mirzaahmedov

11.
Ko‘phad
— bir nechta birhadlarning algebraik yig‘indisi.
Ko‘phadga misollar:
4
ab
2
c
3
– birhad, 2
ab – 
3
bc 
– ikkihad, 4
ab 
+ 3
ac – bc – 
uchhad.
Ko‘phadning hadlari
— ko‘phadni tashkil qiluvchi birhadlar. Masa-
lan, 
2ab
2
– 3
a
2
c 
+ 7
bc 
– 4
bc
ko‘phadning hadlari 2
ab
2
, –3
a
2
c
, 7
bc
, –4
bc
bo‘ladi.
O‘xshash hadlar
— faqat koeffitsiyentlari bilan farq qiluvchi birhad-
lar yoki bir xil birhadlar.
O‘xshash hadlarni ixchamlash
— ko‘phadni soddalashtirish, bun-
da o‘xshash birhadlarning algebraik yig‘indisi bitta birhad bilan
almashtiriladi. Masalan:
2
ab – 
4
bc 
+
 ac 
+ 3
ab + bc
= 5
ab – 
3
bc + ac
.
Ko‘phadning standart shakli
— ko‘phadning hamma hadlari stan-
dart shaklda yozilgan va ularning orasida o‘xshash hadlar bo‘lmagan
yozuvi.
Birhadlar va ko‘phadlar ustida amallar:
1) bir nechta ko‘phadlarning algebraik yig‘indisini standart shakl-
dagi ko‘phad ko‘rinishida yozish uchun qavslarni ochish va o‘xshash
hadlarni ixchamlash kerak, masalan,
2
2
2
2
2
2
(2
3 ) (
5 ) (3
)
2
3
5
3
3 .
a b
bc
a b
bc
a b bc
a b
bc a b
bc
a b bc
bc
-
+
+
-
-
=
=
-
+
+
-
+
=
2) ko‘phadni birhadga ko‘paytirish uchun ko‘phadning har bir hadi-
ni shu birhadga ko‘paytirish va hosil bo‘lgan ko‘paytmalarni qo‘shish
kerak, masalan,
2
2
(2
3 )(4
)
(2
)(4
) ( 3 )(4
)
8
12
.
ab
bc
ac
ab
ac
bc
ac
a bc
abc
-
=
+ -
=
-

---

215
3) ko‘phadni ko‘phadga ko‘paytirish uchun birinchi ko‘phadning
har bir hadini ikkinchi ko‘phadning har bir hadiga ko‘paytirish va
hosil bo‘lgan ko‘paytmalarni qo‘shish kerak. Masalan,
2
2
(5
2 )(3
4 )
(5 )(3 ) (5 )(4 )
( 2 )(3 ) ( 2 )(4 )
15
14
8 .
a
b
a
b
a
a
a
b
b
a
b
b
a
ab
b
-
+
=
+
+
+ -
+ -
=
+
-
4) ko‘phadni birhadga bo‘lish uchun ko‘phadning har bir hadini shu
birhadga bo‘lish va hosil bo‘lgan natijalarni qo‘shish kerak, masalan,
a b
a b
ab
a b
ab
a b
ab
a b – ab
3 2
2 3
3 2
2 3
2
2
(4
–12
) : (2
) = (4
) : (2
) + (–12
) : (2
) = 2
6
.
12. Qisqa ko‘paytirish formulalari.
1) 
2
2
2
(
)
2
;
a b
a
ab b
+
=
+
+
2) 
2
2
2
(
)
2
;
a b
a
ab b
-
=
-
+
3) 
3
3
2
2
3
(
)
3
3
;
a b
a
a b
b a b
+
=
+
+
+
4) 
3
3
2
2
3
(
)
3
3
;
a b
a
a b
ab
b
-
=
-
+
-
5) 
2
2
(
)(
);
a
b
a b a b
-
=
+
-
6) 
3
3
2
2
(
)(
);
a
b
a b a
ab b
+
=
+
-
+
7) 
3
3
2
2
(
)(
).
a
b
a b a
ab b
-
=
-
+
+
13. Ko‘phadni ko‘paytuvchilarga ajratish
— ko‘phadni ikki yoki
bir nechta ko‘phadlarning ko‘paytmasi shaklida ifodalash, masalan,
2
2
4
9
(2
3 )(2
3 ).
x
y
x
y
x
y
-
=
+
-
Ko‘phadni ko‘paytuvchilarga ajratish-
da quyidagi 
usullardan 
foydalaniladi.
1) 
Umumiy ko‘paytuvchini qavsdan tashqariga chiqarish. 
Masalan,
3
ax 
+ 6
ay 
= 3
a
(
x 
+ 2
y
).
2) 
Guruhlash usuli. 
Masalan,
3
2
3
2
2
2
2
2
4
(
2
) (2
4)
(
2) 2(
2)
(
2)(
2).
a
a
a
a
a
a
a a
a
a
a
-
-
+ =
-
-
-
=
=
-
-
-
=
-
-
3) 
Qisqa ko‘paytirish formulalarini qo‘llash
. Masalan,
2
2
3
6
2
2
2
4
2
2
1
1
1
16
4
4
9
(3
)(3
);
27
8
(3
2
)(9
6
4
);
14
49
(
7) .
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
xy
y
z
z
z
-
=
+
-
+
=
+
-
+
-
+
=
-

---

216
Kvadrat uchhadni ko‘paytuvchilarga ajratish
– uni 
ax
2 
+
 bx 
+
 c 
=
=
a
(
x 
–
 x
1
)(
x 
–
 x
2
) kabi ko‘rinishda tasvirlash, bunda 
x
1
va 
x
2
lar
ax
2 
+
 bx 
+
 c 
= 0 kvadrat tenglamaning ildizlari. Masalan,
2
x
2 
+ 3
x 
– 2 = 2
1
2
(
2).
x
x
æ
ö
-
+
ç
÷
è
ø
14. Algebraik kasr
– surati va maxraji algebraik ifodalardan iborat
kasr.
Algebraik kasrlarga misollar: 
2
3
2
1
,
.
a
b
x
y
c
a
+
-
+
Algebraik kasr yozuvida
qo‘llanilgan harflar faqat shu kasrning maxraji nolga teng bo‘lmay-
digan qiymatlarni qabul qilishi mumkin, deb faraz qilinadi.
Kasrning asosiy xossasi:
surat va maxrajini ayni bir xil algebraik
ifodaga ko‘paytirganda unga teng kasr hosil bo‘ladi. Masalan,
2
2
2
(
)(
)
(
)
(
)(
)
.
a
b
a
b a
b
a
b
a
b
a
b a
b
a
b
-
-
-
-
+
+
-
-
=
=
Kasrning asosiy xossasidan foydalanib, algebraik kasrni uning surat
va maxrajining umumiy ko‘paytuvchisiga qisqartirish mumkin. Masalan,
2
3
2
2
1
(
1)(
1)
1
1
(
1)(
1)
1
.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
-
-
+
+
-
-
+
+
+
+
=
=
Algebraik kasrlarni qo‘shish va ayirish
sonli kasrlar uchun qo‘llani-
ladigan qoidalar bo‘yicha olib boriladi.
Ikki yoki bir nechta kasrlarning algebraik yig‘indisini topish uchun
bu kasrlarni umumiy maxrajga keltiriladi va bir xil maxrajli kasrlarni
qo‘shish qoidasidan foydalaniladi.
Masalan, 
ab
a b
2
2
1
1
va
kasrlarning umumiy maxraji 
a
2
b
2
ga teng,
shuning uchun
b
b
a
a b
ab
a b
a b
a b
a
2
2
2 2
2 2
2 2
1
1
.
+
+
=
+
=
Algebraik kasrlarni ko‘paytirish va bo‘lish sonli kasrlar uchun
qo‘llanilgan qoidalar bo‘yicha olib boriladi, masalan,
2
2
2
2
2
2
2
2
1
(
) 4
2(
)
3
4
3
4
6
2
4
2
(
)
;
:
.
a b
ab
x
y
x
y
x
y
x
x
y
y
b
a
b
a
xy
x
xy x
y
b
-
+
-
×
-
×
+
×
=
=
=
=

---

217
15. Ayniyat
— unga kirgan harflarning joiz qiymatlarida to‘g‘ri
bo‘lgan tenglik. Masalan, quyidagi tengliklar ayniyat bo‘ladi:
2
2
2
2
2
2
1
1
(
)( + );
,
sin
cos
1,
1.
a
a
a
b
a b a
b
a
a
a
-
-
-
=
-
=
a +
a =
= +
DARAJALAR VA ILDIZLAR
16. 
a
 sonning 1 dan katta bo‘lgan 
n
 natural ko‘rsatkichli darajasi
,
bu 
a
ga teng 
n
ta ko‘paytuvchining ko‘paytmasi, ya’ni,
= × ×
×
n
n
a
a a
a
marta
...
.

Masalan,
= × ×
=
×
×
×
×
 m
m m m m m
3
5
5 marta
2
2 2 2,



.
Darajaning 
a
n
yozuvida 
a
son — darajaning asosi, 
n 
– daraja ko‘rsat-
kichi. Masalan, 2
3
yozuvida 2 soni — darajaning asosi, 3 soni – daraja
ko‘rsatkichi.
Sonning birinchi darajasi
— sonning o‘zi: 
a
1
=
a
. Masalan,
1
1
1
1
13
13
3
3,
.
 
æ
ö
=
=
ç
÷
è
ø
Darajaga ko‘tarish amali
sonning darajasini topishdir.
Darajalarning asosiy xossalari:
1) teng asosli darajalarni ko‘paytirishda asos avvalgicha qoladi,
daraja ko‘rsatkichlari esa qo‘shiladi:
a
n
×
a
m
=
 a
n
+
m
;
2) teng asosli darajalarni bo‘lishda asos avvalgicha qoladi, daraja
ko‘rsatkichlari esa ayiriladi:
a
n
:
a
m
 
=
 a
n
–
m
;
3) darajani darajaga ko‘tarishda asos avvalgicha qoladi, daraja
ko‘rsatkichlari esa o‘zaro ko‘paytiriladi:
(
a
n
)
m
=
 a
nm
;
4) ko‘paytmani darajaga ko‘tarishda har bir ko‘paytuvchi shu dara-
jaga ko‘tariladi:
(
a
×
b
)
n
=
 a
n
× 
b
n
;

---

218
5) kasrni darajaga ko‘tarishda uning surat va maxraji shu darajaga
ko‘tariladi:
n
n
n
a
a
b
b
æ ö =
ç ÷
è ø
.