r
uchlik orqali
aniqlanadi, bu yerda
1)
berilgan
Р
nuqtadan koordinata boshigacha bo‘lgan masofa nomanfiydir,
ya’ni
0
r
;
2)
Р
nuqta va koordinata boshini tutashtiruvchi kesma va
z
o‘qi orasidagi
burchak uchun
180
0
munosabat o‘rinli;
3)
Р
nuqta va koordinata boshini tutashtiruvchi kesmaning
ху
tekislikga
proyeksiyasi va
х
o‘qi orasidagi
burchak uchun
360
0
munosabat o‘rinli.
burchakka zenit yoki qutb burchagi deyiladi. Uni ko‘p hollarda og‘ish
burchagi yoki kokenglik deb ham yuritiladi.
ga esa azimut burchagi deyiladi.
va
burchaklar
0
=
r
bo‘lganda aniqlanmagan.
Bundan tashqari
0
sin
=
ya’ni
0
=
yoki
=
180
bo‘lganda
burchak aniqlanmagan. Bunday kelishuv ISO 31-11
standartda qayd qilingan. Bundan tashqari,
zenit burchak o‘rniga
Р
radius vektor
va
ху
tekislik orasidagi
−
90
ga teng burchak ham ishlatilishi mumkin. Unga
kenglik deyiladi va
у
ham
harfi bilan belgilanadi. Kenglik
−
90
90
oraliqda o‘zgarishi mumkin. Mazkur kelishuvda
va
burchaklar
0
=
r
bo‘lganda
ma’noga ega emas;
0
cos
=
, ya’ni
−
=
90
yoki
=
90
bo‘lganda
ma’noga ega
emas.
Boshqa koordinatalar sistemasiga o‘tish
1)
Dekart koordinatalar sistemasi.
Agar nuqtaning
(
)
,
,
r
sferik koordinatalari berilgan bo‘lsa, u holda dekart
koordinatalar sistemasiga o‘tish quyidagi formulalar yordamida amalga oshiriladi:
"Science and Education" Scientific Journal
August 2021 / Volume 2 Issue 8
www.openscience.uz
9
=
=
=
.
cos
;
sin
sin
;
cos
sin
r
z
r
y
r
x
Bunda
=
+
+
=
+
+
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
sin
sin
cos
sin
r
r
r
z
y
x
(
)
=
+
=
+
+
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
sin
cos
sin
cos
sin
r
r
r
r
(
)
.
cos
sin
2
2
2
2
r
r
=
+
=
Aksincha, dekart koordinatalar sistemasidan sferik koordinatalar sistemasiga
o‘tish quyidagi formula yordamida amalga oshiriladi:
=
+
=
+
+
=
+
+
=
.
;
arccos
;
2
2
2
2
2
2
2
2
x
y
arctg
z
y
x
arctg
z
y
x
z
z
y
x
r
Sferik koordinatalar sistemasiga o‘tish yakobiani quyidagicha hisoblanadi:
(
)
(
)
=
−
−
=
=
0
sin
cos
cos
sin
sin
cos
sin
sin
sin
sin
cos
cos
cos
sin
,
,
,
,
r
r
r
r
r
r
z
y
x
J
(
)
+
+
=
sin
cos
sin
sin
cos
cos
cos
2
2
2
2
r
r
(
)
=
+
+
2
2
2
2
sin
sin
cos
sin
sin
r
r
r
.
sin
sin
sin
sin
cos
2
2
2
2
2
r
r
r
=
+
=
2)
Silindrik koordinatalar sistemasi.
Agar nuqtaning sferik koordinatalari berilgan bo‘lsa, u holda silindrik
koordinatalar sistemasiga o‘tish quyidagicha amalga oshiriladi:
=
=
=
.
cos
;
;
sin
r
z
r
Aksincha, silindrik koordinatalar sistemasidan sferik koordinatalar sistemasiga
o‘tish:
=
=
+
=
;
;
2
2
z
arctg
z
r
tengliklar yordamida amalga oshiriladi. Sferik koordinatalar sistemasidan
silindrik koordinatalar sistemasiga o‘tish yakobiani uchun
r
J
=
tenglik o‘rinlidir.
"Science and Education" Scientific Journal
August 2021 / Volume 2 Issue 8
www.openscience.uz
10
Shuni alohida ta’kidlash joizki, umumlashgan sferik koordinatalar sistemasiga
=
=
=
sin
;
cos
sin
;
cos
cos
cr
z
br
y
ar
x
tenglik yordamida amalga oshiriladi. Bunda
.
2
2
,
2
0
,
0
−
r
Fridrixs modeli
(
3
3
;
:
−
=
Т
orqali uch o‘lchamli torni,
( )
3
2
Т
L
orqali
3
Т
da aniqlangan
kvadrati bilan integrallanuvchi (umuman olganda kompleks qiymatlarni qabul
qiluvchi) funksiyalarning Gilbert fazosini belgilaymiz.
Ushbu bo‘limda
( )
3
2
Т
L
Gilbert fazosida
V
H
H
−
=
0
tenglik yordamida aniqlangan va Fridrixs modeli deb ataluvchi operatorni
qaraymiz. Bu yerda
0
H
qo‘zg‘almas operatori deb ataladi va u ko‘paytirish
operatoridir:
(
)(
) (
) (
)
;
,
,
cos
cos
cos
3
,
,
0
z
y
x
f
z
y
x
z
y
x
f
H
−
−
−
=
V
esa integral operator:
( )(
) (
)
(
) (
)
;
,
,
,
,
,
,
,
,
'
'
'
'
'
'
'
'
'
3
dz
dy
dx
z
y
x
f
z
y
x
v
z
y
x
v
z
y
x
Vf
T
=
0
- ixtiyoriy musbat son (ta’sirlashish parametri),
( )
,
,
v
esa
3
Т
da
aniqlangan haqiqiy qiymatli uzluksiz funksiya. Ushbu shartlar asosida
H
operator
chiziqli, chegaralangan va o‘z-o‘ziga qo‘shma operator bo‘ladi. Bu tasdiqlar
funksional analiz kursidan bizga ma’lum bo‘lgan operatorning chiziqliligi,
chegaralanganligi va o‘z-o‘ziga qo‘shmaligi ta’riflari yordamida tekshiriladi.
Avvalo shuni qayd qilish lozimki,
H
o‘z-o‘ziga qo‘shma operator bo‘lganligi
bois uning spektri haqiqiy sonlar o‘qida yotadi.
Aniqlanishiga ko‘ra
V
qo‘zg‘alish operatori ajralgan yadroli bir o‘lchamli o‘z-
o‘ziga qo‘shma integral operatordir. Shu sababli chekli o‘lchamli qo‘zg‘alishlarda
muhim spektrning o‘zgarmasligi haqidagi mashhur Veyl teoremasiga ko‘ra
H
operatorning muhim spektri
0
H
qo‘zg‘almas operatorning muhim spektriga teng
bo‘ladi, ya’ni
( )
( )
.
0
H
H
ess
ess
=
0
H
operatori
z
y
x
cos
cos
cos
3
−
−
−
funksiyaga
ko‘paytirish operator bo‘lganligi uchun bu operator sof muhim spektrga ega bo‘ladi,
ya’ni
"Science and Education" Scientific Journal
August 2021 / Volume 2 Issue 8
www.openscience.uz
11
( )
( )
6
;
0
0
0
=
=
H
H
ess
.
Yuqoridagi mulohazaga ko‘ra
( )
6
;
0
=
H
ess
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Ko‘rinib turibdiki,
H
operatorning muhim spektri
ta’sirlashish parametridan bog‘liq emas.
Endi
H
operatorning diskret spektrini, ya’ni chekli karrali yakkalangan xos
qiymatlarini tahlil qilamiz. Buning uchun odatda
6
;
0
\
С
z
soni uchun
zf
f
H
=
xos qiymatga nisbatan tenglama qaraladi va
6
;
0
\
С
sohada regulyar bo‘lgan
( )
(
)
−
−
−
−
−
=
3
'
'
'
'
'
'
'
'
'
2
cos
cos
cos
3
,
,
1
T
z
z
y
x
dz
dy
dx
z
y
x
v
z
yordamchi funksiyani qaraymiz. Unga
H
operatorga mos Fredgolm
determinanti deyiladi. Bu funksiyaning xarakteristik xossalaridan biri quyidagidan
iborat:
6
;
0
\
С
z
soni
H
operatorning xos qiymati bo‘lishi uchun
( )
0
=
z
bo‘lishi
zarur va yetarlidir.
Shunday qilib,
H
operatorning diskret spektri uchun
( )
( )
0
:
6
;
0
\
=
=
z
С
z
H
disc
tenglik o‘rinli ekan. Tekshirib ko‘rish mumkinki,
( )
funksiya
(
)
0
;
−
va
(
)
+
,
6
oraliqlarda monoton kamayuvchi funksiyadir. Ikkinchi tomondan, ixtiyoriy
0
va
6
z
sonlari uchun
( )
1
z
tengsizlik o‘rinli. Bu esa ixtiyoriy
0
soni
uchun
H
operator 6 dan katta xos qiymatlarga ega emasligini bildiradi. Manfiy xos
qiymatlarni o‘rganish uchun
( )
funksiyani muhim spektrning chap chegarasi
0
=
z
nuqtada qo‘shimcha aniqlab olamiz. Lebeg integral belgisi ostida limitga o‘tish
haqidagi Lebeg teoremasiga ko‘ra qiymati chekli yoki cheksiz bo‘lgan
(
)
=
−
−
−
−
−
→
3
'
'
'
'
'
'
'
'
'
2
0
cos
cos
cos
3
,
,
lim
T
z
z
z
y
x
dz
dy
dx
z
y
x
v
(
)
−
−
−
=
3
'
'
'
'
'
'
'
'
'
2
cos
cos
cos
3
,
,
T
z
y
x
dz
dy
dx
z
y
x
v
limit mavjud bo‘ladi.
"Science and Education" Scientific Journal
August 2021 / Volume 2 Issue 8
www.openscience.uz
12
Oxirgi integralning chekli ekanligini ko‘rsatamiz. Tanlanishiga ko‘ra
( )
,
,
v
-
3
Т
kompakt to‘plamda aniqlangan haqiqiy qiymatli uzluksiz funksiyadir. Shu sababli
shunday
0
М
soni topilib, ixtiyoriy
(
)
3
,
,
Т
z
y
x
nuqtada
(
)
M
z
y
x
v
,
,
(1)
tengsizlik bajariladi (kompakt to‘plamda aniqlangan uzluksiz funksiyalarning
chegaralanganlik xossasi).
x
cos
funksiyaning Teylor qatoriga yoyilmasiga ko‘ra
(
) (
)
....
!
4
1
!
2
1
cos
cos
cos
3
4
4
4
2
2
2
+
+
+
−
+
+
=
−
−
−
z
у
x
z
у
x
z
y
x
tenglik barcha
(
)
3
,
,
Т
z
y
x
nuqtalarda bajariladi. U holda shunday
0
,
2
1
с
с
va
0
sonlar topilib, istalgan
(
)
( )
(
)
( ) ( ) ( )
2
2
'
2
'
2
'
3
'
'
'
:
,
,
:
0
,
,
+
+
=
z
y
x
Т
z
y
x
B
z
y
x
nuqtada
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
1
cos
cos
cos
3
z
у
x
c
z
y
x
z
у
x
с
+
+
−
−
−
+
+
(2)
qo‘sh tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Quyidagi
(
)
−
−
−
3
'
'
'
'
'
'
'
'
'
2
cos
cos
cos
3
,
,
T
z
y
x
dz
dy
dx
z
y
x
v
integralda to‘plam bo‘yicha additivlik xossasidan foydalanamiz:
(
)
(
)
( )
+
−
−
−
=
−
−
−
o
В
T
z
y
x
dz
dy
dx
z
y
x
v
z
y
x
dz
dy
dx
z
y
x
v
'
'
'
'
'
'
'
'
'
2
'
'
'
'
'
'
'
'
'
2
cos
cos
cos
3
,
,
cos
cos
cos
3
,
,
3
(
)
( )
.
cos
cos
cos
3
,
,
\
'
'
'
'
'
'
'
'
'
2
3
−
−
−
+
o
В
T
z
y
x
dz
dy
dx
z
y
x
v
(3)
(3)-tenglikning o‘ng tomonidagi birinchi qo‘shiluvchiga (1)- va (2)-
baholashlardan foydalanamiz:
(
)
( )
( ) ( ) ( )
( )
.
cos
cos
cos
3
,
,
0
2
'
2
'
2
'
'
'
'
0
2
2
'
'
'
'
'
'
'
'
'
2
+
+
−
−
−
B
B
z
y
x
dz
dy
dx
с
М
z
y
x
dz
dy
dx
z
y
x
v
(4)
(4)-tengsizlikning o‘ng tomonidagi integralda sferik koordinatalar sistemasiga
o‘tamiz:
( ) ( ) ( )
( )
=
=
+
+
−
0
2
2
2
0
2
2
0
2
'
2
'
2
'
'
'
'
cos
r
d
drd
r
z
y
x
dz
dy
dx
B
.
4
2
2
=
=
"Science and Education" Scientific Journal
August 2021 / Volume 2 Issue 8
www.openscience.uz
13
Demak,
(
)
( )
.
cos
cos
cos
3
,
,
0
'
'
'
'
'
'
'
'
'
2
+
−
−
−
В
z
y
x
dz
dy
dx
z
y
x
v
Endi (3)-tenglikning o‘ng tomonidagi ikkinchi qo‘shiluvchini baholaymiz:
z
y
x
cos
cos
cos
3
−
−
−
funksiya yagona
(
)
3
0
,
0
,
0
Т
nuqtada minimumga ega.
Shu sababli shunday
0
c
soni topilib, barcha
(
)
( )
0
\
,
,
3
B
Т
z
y
x
nuqtalar uchun
0
cos
cos
cos
3
−
−
−
c
z
y
x
tengsizlik o‘rinli. Bundan va (1)-tengsizlikdan
(
)
( )
( )
−
−
−
0
\
'
'
'
0
\
2
2
'
'
'
'
'
'
'
'
'
2
3
3
cos
cos
cos
3
,
,
B
Т
B
Т
dz
dy
dx
с
М
z
y
x
dz
dy
dx
z
y
x
v
.
8
3
2
2
с
М
Shunday qilib,
(
)
−
−
−
3
'
'
'
'
'
'
'
'
'
2
cos
cos
cos
3
,
,
Т
z
y
x
dz
dy
dx
z
y
x
v
ekan.
Yuqorida keltirilgan mulohazalardan Fridrixs modelining va umumlashgan
Fridrixs modelining xos qiymatlari soni va joylashgan o‘rnini aniqlashda foydalanish
mumkin [1-30]. Bundan tashqari, Fridrixs modellari oilasi va umumlashgan Fridrixs
modellari oilasiga mos Fredgolm determinanti
( )
z
k
;
funksiyada
( )
0
;
funksiyani uzluksizlikga tekshirishda alohida ahamiyat kasb etadi.
Do'stlaringiz bilan baham: |