Sferik koordinatalar sistemasining ba’zi tadbiqlar



Download 359,46 Kb.
Pdf ko'rish
bet2/4
Sana01.06.2022
Hajmi359,46 Kb.
#629547
1   2   3   4
Bog'liq
sferik-koordinatalar-sistemasining-ba-zi-tadbiqlar

r
uchlik orqali 
aniqlanadi, bu yerda 
1)
berilgan 
Р
nuqtadan koordinata boshigacha bo‘lgan masofa nomanfiydir, 
ya’ni 
0

r

2)
Р
nuqta va koordinata boshini tutashtiruvchi kesma va 
z
o‘qi orasidagi 

burchak uchun 




180
0

munosabat o‘rinli; 
3)
Р
nuqta va koordinata boshini tutashtiruvchi kesmaning 
ху
tekislikga 
proyeksiyasi va 
х
o‘qi orasidagi 

burchak uchun 




360
0

munosabat o‘rinli. 

burchakka zenit yoki qutb burchagi deyiladi. Uni ko‘p hollarda og‘ish 
burchagi yoki kokenglik deb ham yuritiladi. 

ga esa azimut burchagi deyiladi. 

va 

burchaklar 
0
=
r
bo‘lganda aniqlanmagan.
 
Bundan tashqari 
0
sin
=

ya’ni 
0
=

yoki 

=
180

bo‘lganda 

burchak aniqlanmagan. Bunday kelishuv ISO 31-11 
standartda qayd qilingan. Bundan tashqari,
 

zenit burchak o‘rniga 
Р
radius vektor 
va 
ху
tekislik orasidagi 



90
ga teng burchak ham ishlatilishi mumkin. Unga 
kenglik deyiladi va 
у
ham 

harfi bilan belgilanadi. Kenglik 





90
90

oraliqda o‘zgarishi mumkin. Mazkur kelishuvda 

va 

burchaklar 
0
=
r
bo‘lganda 
ma’noga ega emas; 
0
cos
=

, ya’ni 


=
90

yoki 

=
90

bo‘lganda 

ma’noga ega 
emas. 
Boshqa koordinatalar sistemasiga o‘tish 
1)
 
Dekart koordinatalar sistemasi.
Agar nuqtaning 
(
)


,
,
r
sferik koordinatalari berilgan bo‘lsa, u holda dekart 
koordinatalar sistemasiga o‘tish quyidagi formulalar yordamida amalga oshiriladi: 
"Science and Education" Scientific Journal
August 2021 / Volume 2 Issue 8
www.openscience.uz
9







=
=
=
.
cos
;
sin
sin
;
cos
sin





r
z
r
y
r
x
Bunda 
=
+
+
=
+
+





2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
sin
sin
cos
sin
r
r
r
z
y
x
(
)
=
+
=
+
+
=






2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
sin
cos
sin
cos
sin
r
r
r
r
(
)
.
cos
sin
2
2
2
2
r
r
=
+
=


Aksincha, dekart koordinatalar sistemasidan sferik koordinatalar sistemasiga 
o‘tish quyidagi formula yordamida amalga oshiriladi: 









=
+
=
+
+
=
+
+
=
.
;
arccos
;
2
2
2
2
2
2
2
2
x
y
arctg
z
y
x
arctg
z
y
x
z
z
y
x
r


Sferik koordinatalar sistemasiga o‘tish yakobiani quyidagicha hisoblanadi: 
(
)
(
)
=


=


=
0
sin
cos
cos
sin
sin
cos
sin
sin
sin
sin
cos
cos
cos
sin
,
,
,
,
















r
r
r
r
r
r
z
y
x
J
(
)
+
+
=







sin
cos
sin
sin
cos
cos
cos
2
2
2
2
r
r
(
)
=
+
+





2
2
2
2
sin
sin
cos
sin
sin
r
r
r
.
sin
sin
sin
sin
cos
2
2
2
2
2





r
r
r
=
+
=
2)
 
Silindrik koordinatalar sistemasi. 
Agar nuqtaning sferik koordinatalari berilgan bo‘lsa, u holda silindrik 
koordinatalar sistemasiga o‘tish quyidagicha amalga oshiriladi: 





=
=
=
.
cos
;
;
sin





r
z
r
Aksincha, silindrik koordinatalar sistemasidan sferik koordinatalar sistemasiga 
o‘tish: 






=
=
+
=





;
;
2
2
z
arctg
z
r
tengliklar yordamida amalga oshiriladi. Sferik koordinatalar sistemasidan 
silindrik koordinatalar sistemasiga o‘tish yakobiani uchun 
r
J
=
tenglik o‘rinlidir. 
"Science and Education" Scientific Journal
August 2021 / Volume 2 Issue 8
www.openscience.uz
10


Shuni alohida ta’kidlash joizki, umumlashgan sferik koordinatalar sistemasiga





=
=
=










sin
;
cos
sin
;
cos
cos
cr
z
br
y
ar
x
tenglik yordamida amalga oshiriladi. Bunda 
.
2
2
,
2
0
,
0











r
Fridrixs modeli 
(

3
3
;
:



=
Т
orqali uch o‘lchamli torni, 
( )
3
2
Т
L
orqali 
3
Т
da aniqlangan 
kvadrati bilan integrallanuvchi (umuman olganda kompleks qiymatlarni qabul 
qiluvchi) funksiyalarning Gilbert fazosini belgilaymiz. 
Ushbu bo‘limda 
( )
3
2
Т
L
Gilbert fazosida
V
H
H



=
0
tenglik yordamida aniqlangan va Fridrixs modeli deb ataluvchi operatorni 
qaraymiz. Bu yerda 
0
H
qo‘zg‘almas operatori deb ataladi va u ko‘paytirish 
operatoridir: 
(
)(
) (
) (
)
;
,
,
cos
cos
cos
3
,
,
0
z
y
x
f
z
y
x
z
y
x
f
H



=
V
esa integral operator: 
( )(
) (
)
(
) (
)
;
,
,
,
,
,
,
,
,
'
'
'
'
'
'
'
'
'
3
dz
dy
dx
z
y
x
f
z
y
x
v
z
y
x
v
z
y
x
Vf
T

=
0


- ixtiyoriy musbat son (ta’sirlashish parametri), 
( )



,
,
v
esa 
3
Т
da 
aniqlangan haqiqiy qiymatli uzluksiz funksiya. Ushbu shartlar asosida 

H
operator 
chiziqli, chegaralangan va o‘z-o‘ziga qo‘shma operator bo‘ladi. Bu tasdiqlar 
funksional analiz kursidan bizga ma’lum bo‘lgan operatorning chiziqliligi, 
chegaralanganligi va o‘z-o‘ziga qo‘shmaligi ta’riflari yordamida tekshiriladi. 
Avvalo shuni qayd qilish lozimki, 

H
o‘z-o‘ziga qo‘shma operator bo‘lganligi 
bois uning spektri haqiqiy sonlar o‘qida yotadi. 
Aniqlanishiga ko‘ra 
V
qo‘zg‘alish operatori ajralgan yadroli bir o‘lchamli o‘z-
o‘ziga qo‘shma integral operatordir. Shu sababli chekli o‘lchamli qo‘zg‘alishlarda 
muhim spektrning o‘zgarmasligi haqidagi mashhur Veyl teoremasiga ko‘ra 

H
operatorning muhim spektri 
0
H
qo‘zg‘almas operatorning muhim spektriga teng 
bo‘ladi, ya’ni 
( )
( )
.
0
H
H
ess
ess



=
0
H
operatori 
z
y
x
cos
cos
cos
3



funksiyaga 
ko‘paytirish operator bo‘lganligi uchun bu operator sof muhim spektrga ega bo‘ladi, 
ya’ni
"Science and Education" Scientific Journal
August 2021 / Volume 2 Issue 8
www.openscience.uz
11


( )
( )
 
6
;
0
0
0
=
=
H
H
ess



Yuqoridagi mulohazaga ko‘ra 
( )
 
6
;
0
=


H
ess
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Ko‘rinib turibdiki, 

H
operatorning muhim spektri 

ta’sirlashish parametridan bog‘liq emas. 
Endi 

H
operatorning diskret spektrini, ya’ni chekli karrali yakkalangan xos 
qiymatlarini tahlil qilamiz. Buning uchun odatda 
 
6
;
0
\
С
z

soni uchun 
zf
f
H
=

xos qiymatga nisbatan tenglama qaraladi va 
 
6
;
0
\
С
sohada regulyar bo‘lgan 
( )
(
)






=

3
'
'
'
'
'
'
'
'
'
2
cos
cos
cos
3
,
,
1
T
z
z
y
x
dz
dy
dx
z
y
x
v
z


yordamchi funksiyani qaraymiz. Unga 

H
operatorga mos Fredgolm 
determinanti deyiladi. Bu funksiyaning xarakteristik xossalaridan biri quyidagidan 
iborat: 
 
6
;
0
\
С
z

soni 

H
operatorning xos qiymati bo‘lishi uchun 
( )
0
=

z

bo‘lishi 
zarur va yetarlidir.
Shunday qilib, 

H
operatorning diskret spektri uchun
( )
 
( )


0
:
6
;
0
\
=


=
z
С
z
H
disc



tenglik o‘rinli ekan. Tekshirib ko‘rish mumkinki, 
( )



funksiya 
(
)
0
;


va 
(
)
+
,
6
oraliqlarda monoton kamayuvchi funksiyadir. Ikkinchi tomondan, ixtiyoriy 
0


va 
6

z
sonlari uchun 
( )
1


z

tengsizlik o‘rinli. Bu esa ixtiyoriy 
0


soni 
uchun 

H
operator 6 dan katta xos qiymatlarga ega emasligini bildiradi. Manfiy xos 
qiymatlarni o‘rganish uchun 
( )



funksiyani muhim spektrning chap chegarasi 
0
=
z
nuqtada qo‘shimcha aniqlab olamiz. Lebeg integral belgisi ostida limitga o‘tish 
haqidagi Lebeg teoremasiga ko‘ra qiymati chekli yoki cheksiz bo‘lgan
(
)
=







3
'
'
'
'
'
'
'
'
'
2
0
cos
cos
cos
3
,
,
lim
T
z
z
z
y
x
dz
dy
dx
z
y
x
v
(
)




=
3
'
'
'
'
'
'
'
'
'
2
cos
cos
cos
3
,
,
T
z
y
x
dz
dy
dx
z
y
x
v
limit mavjud bo‘ladi. 
"Science and Education" Scientific Journal
August 2021 / Volume 2 Issue 8
www.openscience.uz
12


Oxirgi integralning chekli ekanligini ko‘rsatamiz. Tanlanishiga ko‘ra 
( )



,
,
v
-
3
Т
kompakt to‘plamda aniqlangan haqiqiy qiymatli uzluksiz funksiyadir. Shu sababli 
shunday 
0

М
soni topilib, ixtiyoriy 
(
)
3
,
,
Т
z
y
x

nuqtada
(
)
M
z
y
x
v

,
,
(1) 
tengsizlik bajariladi (kompakt to‘plamda aniqlangan uzluksiz funksiyalarning 
chegaralanganlik xossasi). 
x
cos
funksiyaning Teylor qatoriga yoyilmasiga ko‘ra 
(
) (
)
....
!
4
1
!
2
1
cos
cos
cos
3
4
4
4
2
2
2
+
+
+

+
+
=



z
у
x
z
у
x
z
y
x
tenglik barcha 
(
)
3
,
,
Т
z
y
x

nuqtalarda bajariladi. U holda shunday 
0
,
2
1

с
с
va 
0


sonlar topilib, istalgan 
(
)
( )
(
)
( ) ( ) ( )


2
2
'
2
'
2
'
3
'
'
'
:
,
,
:
0
,
,



+
+

=

z
y
x
Т
z
y
x
B
z
y
x
nuqtada 
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
1
cos
cos
cos
3
z
у
x
c
z
y
x
z
у
x
с
+
+





+
+
(2) 
qo‘sh tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Quyidagi
(
)




3
'
'
'
'
'
'
'
'
'
2
cos
cos
cos
3
,
,
T
z
y
x
dz
dy
dx
z
y
x
v
integralda to‘plam bo‘yicha additivlik xossasidan foydalanamiz: 
(
)
(
)
( )
+



=





o
В
T
z
y
x
dz
dy
dx
z
y
x
v
z
y
x
dz
dy
dx
z
y
x
v

'
'
'
'
'
'
'
'
'
2
'
'
'
'
'
'
'
'
'
2
cos
cos
cos
3
,
,
cos
cos
cos
3
,
,
3
(
)
( )
.
cos
cos
cos
3
,
,
\
'
'
'
'
'
'
'
'
'
2
3




+
o
В
T
z
y
x
dz
dy
dx
z
y
x
v

(3) 
(3)-tenglikning o‘ng tomonidagi birinchi qo‘shiluvchiga (1)- va (2)- 
baholashlardan foydalanamiz: 
(
)
( )
( ) ( ) ( )
( )
.
cos
cos
cos
3
,
,
0
2
'
2
'
2
'
'
'
'
0
2
2
'
'
'
'
'
'
'
'
'
2


+
+






B
B
z
y
x
dz
dy
dx
с
М
z
y
x
dz
dy
dx
z
y
x
v
(4) 
(4)-tengsizlikning o‘ng tomonidagi integralda sferik koordinatalar sistemasiga 
o‘tamiz: 
( ) ( ) ( )
( )
=
=
+
+
  










0
2
2
2
0
2
2
0
2
'
2
'
2
'
'
'
'
cos
r
d
drd
r
z
y
x
dz
dy
dx
B
.
4
2
2



=


=
"Science and Education" Scientific Journal
August 2021 / Volume 2 Issue 8
www.openscience.uz
13


Demak,
(
)
( )
.
cos
cos
cos
3
,
,
0
'
'
'
'
'
'
'
'
'
2
+






В
z
y
x
dz
dy
dx
z
y
x
v
Endi (3)-tenglikning o‘ng tomonidagi ikkinchi qo‘shiluvchini baholaymiz: 
z
y
x
cos
cos
cos
3



funksiya yagona 
(
)
3
0
,
0
,
0
Т

nuqtada minimumga ega. 
Shu sababli shunday 
0

c
soni topilib, barcha 
(
)
( )
0
\
,
,
3

B
Т
z
y
x

nuqtalar uchun
0
cos
cos
cos
3





c
z
y
x
tengsizlik o‘rinli. Bundan va (1)-tengsizlikdan 
(
)
( )
( )







0
\
'
'
'
0
\
2
2
'
'
'
'
'
'
'
'
'
2
3
3
cos
cos
cos
3
,
,


B
Т
B
Т
dz
dy
dx
с
М
z
y
x
dz
dy
dx
z
y
x
v
.
8
3
2
2



с
М
Shunday qilib, 
(
)






3
'
'
'
'
'
'
'
'
'
2
cos
cos
cos
3
,
,
Т
z
y
x
dz
dy
dx
z
y
x
v
ekan. 
Yuqorida keltirilgan mulohazalardan Fridrixs modelining va umumlashgan 
Fridrixs modelining xos qiymatlari soni va joylashgan o‘rnini aniqlashda foydalanish 
mumkin [1-30]. Bundan tashqari, Fridrixs modellari oilasi va umumlashgan Fridrixs 
modellari oilasiga mos Fredgolm determinanti 
( )
z
k
;


funksiyada 
( )
0
;



funksiyani uzluksizlikga tekshirishda alohida ahamiyat kasb etadi. 

Download 359,46 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish