Science and e ducation

A system of homogeneous linear algebraic equations

Mahsud Tulkin oglu Usmanov [e-mail]

Karshi branch of Tashkent University of Information Technologies
Abstract: A system of homogeneous linear equations is always together because there is always a solution to the system. If the relationship is appropriate for a homogeneous system, then the system is clear and has a single zero (or trivial) solution.

Keywords: system of homogeneous linear equations, system of fundamental solutions, conditions of accuracy, general solution of system of non-homogeneous linear equations.
1. Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining notrivial yechimi mavjudlik sharti.

1-misol. Quyidagi sistemani yeching:

_4x₁  x₂  3x₃  x₄  0,

^2x  3x  x  5x  0,

^ 1 2 3 4

^x  2x  2x  3x

 0.

Yechish. Bu sistemadan

 1 2 3 4

 <sup>2x2  2x4  0,

</sup> 7x  5x 11x  0,

^ 2 3 4

^x  2x  2x  3x

 0.

 1 2 3 4

sistemani hosil qilamiz. Agar ozod had sifatida x₄

qarasak. U holda

noma’lumni olib,

x₄   , deb

x  ³  ,

1 ₅

x₂   ,

x  ⁴  ,

3 ₅

x₄  

koʻrinishdagi yechimlarni hosil qilamiz.

Ushbu holda har bir nolmas yechim n oʻlchovli vektor sifatida qaralishi mumkin.

Chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasining yechimlari quyidagi xossalarga ega:

1. 
   Agar
   

X₀  (b₁,b₂ ,...,b_n )

vektor ^{AX } sistemaning yechimi boʻlsa, u holda

^k ixtiyoriy son boʻlganda ham

yechimi boʻladi.

kX₀  (k b₁,k b₂ ,...,k b_n )

vektor ham bu sistemaning

2. 
   Agar
   

X₀  (b₁,b₂ ,...,b_n ) va

X₁  (c₁,c₂ ,...,c_n )

vektorlar ^{AX } sistemaning

yechimlari boʻlsa, u holda sistemaning yechimi boʻladi.

X₀  X₁  (b₁  c₁,b₂  c₂ ,...,b_n  c_n )

vektor ham bu

Shuning uchun bir jinsli sistema yechimlarining har qanday chiziqli

kombinatsiyasi ham uning yechimi boʻla oladi.

Bir jinsli boʻlmagan sistema yechimlari uchun yuqoridagi da’vo oʻrinli emas.

 ^a₁₁   ^a₁₂   ^a_1k 

 _a   _a   _a 

A  ^

21 _,

A  ^

22 _,

..., A  ^

2k _

¹  

²  

^k  

 _a   _a   _a 

 n1  

n2 

 nk 

n oʻlchovli vektorlar sistemasini ko‘rib chiqamiz.

1. 
   ta’rif. Agar
   

x₁ A₁  x₂ A₂  ...  x_k A_k

  tenglikni qanoatlantiruvchi kamida

bittasi noldan farqli

x₁ , x₂ ,..., x_k

sonlar mavjud boʻlsa, u holda

A₁, A₂ ,..., A_k

vektorlar

sistemasi chiziqli bog‘liq vektorlar sistemasi deb ataladi.

Aks holda, yani faqat

x₁  x₂  ...  x_k  0

boʻlgandagina

x₁ A₁  x₂ A₂  ...  x_k A_k

  tenglik oʻrinli boʻlsa, u holda

A₁, A₂ ,..., A_k

vektorlar

sistemasi chiziqli erkli vektorlar sistemasi deb ataladi.

Izoh.

x₁ A₁  x₂ A₂  ...  x_k A_k

  vektor bir jinsli tenglamalar sistemasini

ifodalaydi. Masalan,

A  ^{1 },

A  ^{ 2},

_{A  } 1_
vektorlar sistemasini qaraymiz.

1  ₂ 2  ₃  3  ₂ 

     

x₁ A₁  x₂ A₂  x₃ A₃  

vektordan quyidagi algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:

_x₁  2x₂  x₃  0,

^2x  3x  2x  0.

 1 2 3

Bu sistemaning yechimlarini Gauss usulida topamiz.

_x  2x  x  0,

_x₁  7x₃ ,

_ 1 2 3

 ^x  4x ,

• 
  x  4x
  

 0.

^ 2 3

 2 3

^x  R .

 3

Koʻrinib turibdiki, tenglamalar sistemasi cheksiz koʻp yechimga ega.

x₃ 1, deb

olsak,

x₁  7,

x₂  4

qiymatlarni topamiz. Ya’ni,

7A₁  4A₂  A₃  .

Demak, ta’rifga asosan, qaralayotgan vektorlar sistemasi chiziqli bog‘liq. Yuqorida aytib oʻtilgan bir jinsli tenglamalar sistemasining xossalari va

Kroneker-Kapelli teoremasiga asosan quyidagi tasdiqni hosil qilamiz.

Tasdiq. Agar

A₁, A₂ ,..., A_k

vektorlar sistemasining rangi

r( A₁,..., A_k )

vektorlar

soni ^k dan kichik boʻlsa, u holda bu vektorlar sistemasi chiziqli bog‘liq boʻladi. Agar

r  k

boʻlsa, u holda

A₁, A₂ ,..., A_k

vektorlar sistemasi chiziqli erkli boʻladi.

Xususan, bu tasdiqdan, bir xil oʻlchovli vektorlar sistemasidagi vektorlar soni bu vektorlarning oʻlchovidan, ya’ni rangidan katta boʻlsa, u holda bu vektorlar sistemasi chiziqli boʻgliq boʻlishi kelib chiqadi.

Haqiqatan ham

A₁, A₂ ,..., A_k

vektorlar sistemasining rangi, ta’rifga asosan,

^{ a}11 ^a12

^ a a

A  ^



21 22

^ a a

 n1 n2

matritsa rangiga teng. Shartga asosan ^{k  n} , r( A)  min(n, k)  n  k . U holda

^{AX } tenglamada noma’lumlar soni tenglamalar sistemasi rangidan katta. Demak, sistema trivial boʻlmagan (noldan farqli) yechimga ega, ya’ni, vektorlar sistemasi chiziqli bog‘liq.

2. Bir jinsli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining fundamental yechimlari sistemasi.

2. 
   ta’rif. Bir jinsli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi yechimlarining har qanday maksimal sondagi chiziqli erkli sistemasi bu tenglamalar sistemasining fundamental yechimlar sistemasi deb ataladi.
   

2. 
   teorema. ^{AX } tenglamalar sistemasining har qanday yechimi fundamental
   

yechimlar sistemasining chiziqli kombinatsiyasidan iborat.

Isbot.

X₁, X₂ ,..., X_k

vektorlar sistemasi ^{AX } tenglamalar sistemasining

fundamental yechimlari sistemasi boʻlsin.

X ₀ vektor esa tenglamalar sistemasining

boshqa ixtiyoriy yechimi boʻlsin. U holda, ta’rifga asosan,

X₀ , X₁, X ₂ ,..., X_k

vektorlar

sistemasi chiziqli bog‘liq. Ya’ni shunday kamida bittasi noldan farqli sonlar mavjudki,

₀,₁,...,_k

₀ X₀  ₁X₁  ...  _k X_k

 .

Agar bu tenglikda

₀  0

boʻlsa,

₁X₁  ...  _k X_k  0, ya’ni,

X₁, X₂ ,..., X_k

vektorlar chiziqli bog‘liq. Bu esa teorema shartiga zid. Demak,

₀  0 . Shu sababli

X   ^1 X

0 _ 1

 ...  ^k



X_k .

0 0

Bu teoremadan muhim boʻlgan quyidagi tasdiq kelib chiqadi.

Tasdiq. Agar

F₁, F₂ ,..., F_k

n oʻlchovli vektorlar sistemasi ^{AX } tenglamalar

sistemasining fundamental yechimlar sistemasi boʻlsa, bu bir jinsli algebraik tenglamalar sistemasining umumiy yechimi

X  c₁F₁  ...  c_k F_k

shaklda ifodalanadi.

Quyidagi teoremani isbotsiz keltiramiz:

2. 
   teorema. Bir jinsli algebraik tenglamalar sistemasining rangi ^r ga teng boʻlib, sistema noma’lumlari soni n dan kichik boʻlsin. U holda tenglamalar sistemasining
   

fundamental yechimlar sistemasi n  r ta nolmas vektorlardan iborat boʻladi.

Teoremadan koʻrinib turibdiki, fundamental yechimlar sistemasidagi vektorlar soni bu sistemaga mos erkli oʻzgaruvchilar soniga teng ekan.

Bir jinsli sistemaning fundamental yechimlari sistemasini quyidagicha qurishimiz mumkin:

1. 
   Bir jinsli sistemaning rangi topiladi;
   

2. 
   n  r
   

ta erkli oʻzgaruvchilarga qiymat beramiz. Buning uchun n  r

oʻlchovli

n  r ta vektorlardan iborat chiziqli erkli vektorlar sistemasi tanlanadi. Bunda

masalan, har bir vektori n  r

oʻlchovli

A  (1,0,...,0)^T ,

A  (0,1,...,0)^T ,...,

1

2
A  (0,0,...,1)^T sistemani tanlash mumkin;

nr

3. 
   Erkli noma’lumlar oʻrniga yuqorida tanlangan
   

A₁ vektorning mos

koordinatalarini qoʻyib, bazis noma’lumlar aniqlanadi va

F₁ quriladi. Xuddi shunday

usulda

A₂ , A₃ ,..., A_nr

vektorlardan foydalanib, mos ravishda

F₂ ,

F₃, ...,

^Fnr

yechimlar quriladi.

F₁, F₂ ,..., F_nr
vektorlar sistemasining rangi ularning qismi boʻlgan
A₁,..., A_nr

vektorlar rangidan kichik emas.

A₁,..., A_nr

vektorlar chiziqli erkli boʻlgani sababli bu

vektorlar sistemasi rangi maksimal, ya’ni n  r

ga teng. Shu sababli,

F₁, F₂ ,..., F_nr

vektorlar sistemasi rangi ham maksimal, ya’ni n  r

sistemasi chiziqli erkli.

2. 
   misol. Quyidagi
   

ga teng, ya’ni bu yechimlar

_3x₁  x₂  8x₃  2x₄  x₅  0,

^2x  2x  3x  7x  2x  0,

^ 1 2 3 4 5

^x  5x  2x 16x  3x

 0,

_ 1 2 3 4 5

_^x₁  11x₂ 12x₃  34x₄  5x₅  0

chiziqli tenglamalar sistemasining fundamental yechimlar sistemasini toping.

Yechish. Bu sistemada

r  2 ,

^{n  5} . Demak, sistemaning har qanday

fundamental yechimlar sistemasi

n  r  3

ta yechimdan iborat boʻladi.

1. 
   Bu yerda
   

x₃ , x₄ , x₅

noma’lumlarni ozod noma’lumlar, deb hisoblab sistemani

yechamiz va quyidagi umumiy yechimni hosil qilamiz:

^x  ¹⁹ x  ³ x  ¹ x ,



_ 1 ₈ 3 ₈ 4 ₂ 5

^ 7 25 1




^x  x  x  x .

_ 2 ₈ 3 ₈ 4 ₂ 5

2. 
   Soʻngra uchta chiziqli erkli uch oʻlchovli vektor olamiz:
   

 ¹   ⁰   ⁰ 

 ₀ _,  ₁ _,  ₀  _.

     


0 0 1
     

     

3. 
   Bu vektorlarning har birining komponentlarini umumiy yechimga ozod
   

noma’lumlarning qiymatlari sifatida keltirib qoʻyib,

x₁, x₂

larning qiymatlarini

hisoblab, berilgan tenglamalar sistemasining quyidagi fundamental yechimlar sistemasini hosil qilamiz:

_ 19 7 _T

F₁  _{ 8} , ₈ , 1, 0, 0 _ ,

 

_ 3 25 _T

F₂  _{ 8} ,  ₈ , 0, 1, 0 _ ,

 

_ 1 1 _T

F₃  _  ₂ , ₂ , 0, 0, 1_ .

 

Sistemaning umumiy yechimi

X  c₁F₁  c₂ F₂  c₃F₃ , yoki

 ^x1  _19 / 8_{ } 3 / 8 _{ } 1 / 2 _

^{ x  } 7 / 8 ^{ } 25 / 8^{ } 1 / 2 <sup>

 2 </sup>      

F  ^ x₃ ^  c₁ ^ 1 ^  c₂ ^ 0 ^  c₃ ^ 0 ^.

^ _x ^  ₀   ₁   ₀ 

^{ 4 }      

 _x  ^ ₀ ^{ } ₀ ^{ } ₁ ^

 5  ^{     }

Bu yerda

c₁, c₂

va c₃

ixtiyoriy sonlar.

3. Bir jinsli va bir jinsli boʻlmagan chiziqli algebraik tenglamalar sistemalari yechimlari orasidagi boglanish. Bir jinsli boʻlmagan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasinig umumiy yechimi.

n noma’lumli m ta chiziqli bir jinsli boʻlmagan tenglamalar sistemasi

matritsalar yordamida ^{AX  B} koʻrinishda ifodalangan boʻlsin. Bunda ^A - m  n

oʻlchovli matritsa, ^X - n oʻlchovli noma’lumlardan iborat ustun vektor, ^B - m

oʻlchovli ozod hadlar vektori.

^{AX } tenglamalar sistemasi ^{AX  B}

jinsli qismi deyiladi.

bir jinsli boʻlmagan sistemaning bir

Berilgan bir jinsli boʻlmagan sistemaning umumiy yechimini vektor shaklda quyidagicha yozish mumkin:

Bu yerda,

X  F₀  с₁F₁  ...  с_nr F_nr

F₀  dastlabki bir jinslimas sistemaning xususiy yechimlaridan biri (

F₀ ni aniqlash uchun erkli oʻzgaruvchilarning xususiy qiymatlarida bir jinsli

boʻlmagan tenglamalar sistemasi yechiladi);

F₁,

F₂, ...,

^Fnr

• 
  bir jinsli
  

sistemaning fundamental yechimlari sistemasi; haqiqiy sonlar.

2. 
   misol. Quyidagi
   

с₁,

с₂, ...,

^сnr

- ixtiyoriy

_x₁  x₂  2x₃  1

^2x  x  x  2

 1 2 3

chiziqli tenglamalar sistemasining fundamental yechimlarini toping.

Yechish. Sistemaning yechimini topishda Gauss-Jordan usulidan foydalanamiz

 1 1 2 1   3 0 1

3   3 0 1 3

^ 2 1 1 2^{ : } 2 1 1 2^{ : } 5 1 0 5^.

     

Bu yerda

x₂ , x₃  bazis oʻzgaruvchilar,

x₁ erkli oʻzgaruvchidir.


 5
 ⁰ 

n  3, r  2, n  r 1.
yechimni olamiz.

Oxirgi sistemada

x₁  0 , deb olsak, F₀

^{ } xususiy


3

 
 

 

Endi bir jinsli boʻlgan chiziqli tenglamalar sistemasini yechib fundamental yechimlar sistemasini topamiz. Bir jinsli sistema quyidagi sistemaga ekvivalent

_3x₁ 



x₃  0,

_5x₁  x₂  0.

 ¹ 

Bu sistemada

x₁  1, deb olsak,

F  ^ 5^


 

3

1
 

 

bir jinsli tenglamalar sistemasining

fundamental yechimni olamiz. Demak, umumiy yechim

^{ x}₁ ^  ⁰   ¹ 

^ x ^  ^ 5 ^  с ^ 5^ ,

^{ 2 }    

 _x  ^ ₃ ^{ } _3^

 3 

bu yerda с - ixtiyoriy son.

2. 
   misol. Quyidagi
   

   

_4x₁  7x₂  2x₃  3x₄  8,

^x  3x  x  2x  3,

^ 1 2 3 4

^2x  x  4x  x

 2.

 1 2 3 4

tenglamalar sistemasining umumiy yechimini vektor shaklda yozing.

Yechish. Sistemaning yechimini topishda Gauss-Jordan usulidan foydalanamiz:

 4 7 2 3 8   0 5 6 5 4   0 1 1, 2 1 0,8 

 _{1 3 }     


_ 1 2 3 _ : _ 1 3 1 2 3 _ : _ 1 0 2,6 1 0,6 _ .




 

 
^ 2 1 4 1 2 ^{ } 0 5 6 5 4 ^{ } 0 0 0 0 0 _

F₀  ( 0,6;0,8;0;0 )sistemaning xususiy yechimlaridan biri. Bundan foydalanib sistemaning umumiy yechimini vektor shaklida yozamiz:

_ 0,6 _{ } 2,6 _{ } 1 _

 _0,8  

1, 2

  _1

X  F  с F  с F

_   _{ с}   _{ с}   _.

0 1 1 2 2

^ 0 ^{ 1 } 1 ^{ 2 } 0 ^

 ₀   ₀   ₁ 

bu yerda

с₁, с₂

     

lar ixtiyoriy haqiqiy sonlar