Сборник задач с решениями по математике для слушателей зфтш «Перспектива» ишкольников 10-11 классов

Пример 3.
. Тогда





Пример 4. (( +2,708333…):2,5):((1,3+0,7(6)+0,(36)) ´ )´ ;
Необходимо правильно и рационально выполнить цикл вычислений. Прежде всего переведем периодические дроби в обыкновенные.
1)
.

2) .

3) .

4) .

Для выполнения некоторых задач необходимо понимать, что . Тогда,

Пример 5. , так как .
Для формирования квадрата суммы или разности под знаком корня необходимо представлять, что .
Пример 6. Вычислить .
, где . Необходимо подобрать a и b так, чтобы сумма их квадратов равнялась 5.
.
Значит . Тогда . Можно проверить, возводя в квадрат, что это действительно так
В результате, , так как .
Пример 7.
Вычислить .
, так как , то


.
IV. Для выполнения алгебраических преобразований необходимо знать свойства степенных выражений и модификации формул сокращенного умножения. Например:
1) .
2) , используем и условие
.
3) , тогда
.
Пример 8. ( + - )³.
Учтем, что ;
Тогда


.
Пример 9. ( +1)( )( )^-1.
Учтем, что , а . Тогда .
§2. Линейные уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля.

Для решения уравнений и неравенств со знаком модуля необходимо использовать следующую схему решения.

1. Определить нулевые точки, приравняв нулю выражения, находящиеся
под знаком модуля.
2. Разделить числовую ось на интервалы полученными нулевыми
точками и решить уравнение или неравенство для каждого интервала,
убирая знак модуля в соответствии с правилом (п.III).
3. Полученное решение должно принадлежать рассматриваемому
интервалу, если решается уравнение. При решении неравенства
находится общий промежуток для полученного решения и интервала.
Пример 10. |х+12|-|х-1|=3х-8.
Нулевыми точками являются значения и . Рассматриваем последовательно интервалы: . Нулевые точки включаем в интервал, находящийся справа от нулевой точки.
В интервале , так как при любом по той же причине. Тогда получается уравнение: . Решение не принадлежит промежутку .
В интервале . Уравнение имеет решение , не принадлежащее промежутку .
В интервале . Уравнение имеет решение , и оно является решением уравнения.
Пример 11. |х-1|+ х < 5-|2х-5|.
Нулевыми точками являются значения и . Рассматриваем решение для интервалов: .
В интервале . Решаем неравенство . Общим решением находим .
В интервале . Решаем неравенство , что означает . Тогда решением системы является .
В интервале . Решаем неравенство и получаем решение . Для системы решением является .
Собирая вместе полученные решения, которые имеют общие точки и , объединяем полученные промежутки в один .