Сборник докладов республиканской научно-технической конференции значение информационно-коммуникационных

МЕТОДЫ ФУРЬЕ И ДКС В ПРОЦЕССЕ ОБРАБОТКИ 
ТЕЛЕВИЗИОННЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ 
 
С.С. Бекназарова (д.т.н., доц. ТУИТ имени Мухаммада аль-Хорезмий) 
М.К.Жаумытбаева (преподаватель, ТУИТ имени Мухаммада аль-Хорезмий) 
Любая функция, периодически воспроизводящая свои значения, может 
быть представлена в виде суммы синусов или косинусов различных частот, 

---

209 
умноженных на некоторые коэффициенты (обычно такая сумма носит 
название ряд Фурье) [26; 225-226-с.]. Сложность поведения функции при 
этом не имеет значения. Если только функция является периодической и 
удовлетворяет необременительным математическим условиям, она может 
быть представлена в виде вышеуказанной суммы. Поэтому не удивительно, 
что идеи Фурье в этом отношении были встречены скептически. Когда 
функция не является периодической (но площадь под ее графиком конечна), 
она может быть выражена в виде интеграла от синусов или косинусов, 
умноженных на некоторую весовую функцию. 
Для улучшения изображений методы Фурье-анализа дают ясные по 
смыслу и практичные способы изучения и реализации совокупности 
подходов. 
Методы линейной фильтрации, преобразование Фурье обеспечивает 
значительную гибкость при разработке и реализации алгоритмов фильтрации 
при решении задач улучшения, восстановления и сжатия изображений. 
Преобразование Фурье также лежит в фундаменте великого множества 
других важный практических приложений. 
Существует несколько видов преобразования Фурье [2; 181-182-с.] . 
1. Непериодический непрерывный сигнал можно разложить в интеграл 
Фурье.
2. Периодический непрерывный сигнал можно разложить в бесконечный 
ряд Фурье.
3. Непериодический дискретный сигнал можно разложить в интеграл 
Фурье.
4. Периодический дискретный сигнал можно разложить в конечный ряд 
Фурье. 
Компьютер способен работать только с ограниченным объемом данных, 
следовательно, реально он способен вычислять только последний вид 
преобразования Фурье. Рассмотрим его подробнее.
Пусть дискретный сигнал 
x
[
n
] имеет период 
N 
точек. В этом случае его 
можно представить в виде конечного ряда (т.е. линейной комбинации) 
дискретных синусоид: 
 
/2
0
2
(n
)
cos
.
N
k
k
k
k
x n
C
N






Эквивалентная запись (каждый косинус раскладываем на синус и 
косинус, но теперь – без фазы): 
 
/2
/2
0
0
2
n
2
n
cos
sin
.
N
N
k
k
k
k
k
k
x n
A
B
N
N








Алгоритм обратного преобразования Фурье очевиден (он содержится в 
формуле ряда Фурье; для проведения синтеза нужно просто подставить в нее 
коэффициенты). Рассмотрим алгоритм прямого преобразования Фурье, т.е. 
нахождения коэффициентов A
k
и B
k
. 

---

210 
Система функций 
2
n
2
n
sin
,cos
,
0,...,
2
k
k
N
k
N
N



 




от аргумента 
n 
является 
ортогональным базисом в пространстве периодических дискретных сигналов 
с периодом 
N
. Это значит, что для разложения по ней любого элемента 
пространства (сигнала) нужно посчитать скалярные произведения этого 
элемента со всеми функциями системы, и полученные коэффициенты 
нормировать. Тогда для исходного сигнала будет справедлива формула 
разложения по базису с коэффициентами A
k
и B
k
. 
Итак, коэффициенты A
k
и B
k
вычисляются как скалярные произведения 
(в непрерывном случае – интегралы от произведения функций, в дискретном 
случае – суммы от произведения дискретных сигналов): 
 
1
0
2
2
cos
,
1,...,
1,
2
N
k
i
ki
N
A
x i
k
N
ри
N
п







 
1
0
1
2
cos
,
0,
,
2
N
k
i
ki
A
x i
N
N
при
N
k






 
1
0
2
2
sin
,
0,...,
.
2
N
k
i
ki
B
x i
N
N
N
k
при






Вычисление преобразований Фурье требует очень большого числа 
умножений (около N
2
) и вычислений синусов. Существует способ выполнить 
эти преобразования значительно быстрее: примерно за N
⋅
log
2
N операций 
умножения. Этот способ называется быстрым преобразованием Фурье
 
(БПФ). Он основан на том, что среди множителей (синусов) есть много 
повторяющихся значений (в силу периодичности синуса). Алгоритм БПФ 
группирует слагаемые с одинаковыми множителями, значительно сокращая 
число умножений. В результате быстродействие БПФ может в сотни раз 
превосходить быстродействие стандартного алгоритма (в зависимости от 
N
). 
Список использованной литературы 
1.
Березкин Е.Ф. Основы теории информации и кодирования: Учебное пособие. – М.: 
НИЯУ МИФИ, 2010. – 312 с. 
2.
Гайдук А.Р. Непрерывные и дискретные динамические системы. –2-е изд. перераб.-
М.: Учебно-методический и издательский центр «Учебная литература». 2004.- 252с. 
3.
Егоров, В.А. Синтез аритмического непрерывно-дискретного регулятора для 
линейного объекта [Текст] // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. – Сер. Технические науки. – 
№ 3 (31) . - СамГТУ:2011. – с.44-51.; 
4.
Зиглер К. Методы проектирования программных систем. –М.: Мир, 1995
5.
Кириллов С.Н., Поспелов А.В. Дискретные сигналы в радиотехнических системах. 
Учебное пособие. Рязань. РГРТА, 2003. 60с.