Sanoq sistemalarida arifmetik amallar Reja

Sanoq sistemalarida arifmetik amallar


Reja:

1. Sanoq sistemalari haqida.

2. Sanoq sistemalarida arifmetik amallar.
3. Ikkilik sanoq sistemasida arifmetik amallar bajarish.
4. Sakkizlik sanoq sistemasida arifmetik amallar bajarish.
5. O’n oltilik sanoq sistemasida arifmetik amallar bajarish.
6. Turli xil bo’lgan sanoq sistemalari ustida arifmetik amallar bajarish.
7. Sanoq sistemalarining turlari.
8. 10, 8, 2 lik Sanoq sistemalari haqida tushuncha.

Sanoq sistemasi — bu, sonlarni belgilangan miqdoriy qiymatga еga bo’lgan belgilar asosida nomlash va tasvirlash usulidir. Sonlarni tasvirlash usuliga bog’liq ravishda sanoq sistema pozitsion va nopozitsion bo’ladi. Qadimda hisob ishlarida ko’proq barmoqlardan foydalanilgan. Shu sababli narsalarni 5 yoki 10 tadan taqsimlashgan keyinchalik o’nta o’nlik maxsus nom - yuzlik , o’nta yuzlik – minglik nomini olgan va h.k

Turli davrlarda turli xalqlar, qabilalar raqamlar va sonlarni ifodalashda turlicha belgidan foydalanganlar.
Qadimda ba’zi xalqlar ishlatadigan sonlar alifbosi beshta, o’n ikkita, yigirmata, ba’zilari oltmishta belgini o’z ichiga olgan.
Sonlar sistemasidagi raqamlar soni shu sistemaning asosi deb yuritiladi.
Pozitsion sanoq sistemasida har bir raqamning miqdoriy qiymati uning sondagi joyiga (pozitsiyasiga) bog’liq bo’ladi. Quyidagi jadvalda pozitsion sanoq sistemaga misollar keltirilgan( 1-rasm):

Asosi	Sanoq sistemasi	Foydalaniladigan belgilar
2	Ikkili	0,1
3	Uchli	0,1.2
4	To’rtli	0,1,2,3
5	Beshli	0,1,2,3,4
8	Sakkizli	0,1,2,3,4,5,6,7
10	O’nli	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
12	O’n ikkili	0,1,2,3,4,5,б,7,8,9,А,В
16	O’n oltili	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

1-rasm
Sonning pozitsion sanoq sistemasida tasvirlash uchun ishlatiladigan turli raqamlar miqdori (N) sanoq sistemasini asosi deyiladi. Raqamlar qiymati 0 dan N-1 gacha oraliqda yotadi. Umumiy holda ixtiyoriy sonni N asosli sanoq sistemasida yozish quyidagi yig’indi ko’rinishiga еga:
A_nA_n-1A_n-2 … A₁A₀,A_-1A_-2 =
А_nВⁿ + A_n-1B^n-1 + ... + A₁B¹ + А₀В⁰ + A_-1B^-1 + А_-2В^-2 + ... (1)
bu erda, pastki indekslar raqamning sondagi joylashgan joyini (razryadini) aniqlaydi:

• 
  B — sanoq sistemasi asosi;
  
• 
  n — raqamlarni pozitsiyasi(o’rni);
  
• 
  An , An-1, An-2 … A1, A0, A-1, A-2 — berilgan sonni raqamlari;
  
• 
  indekslarning musbat qiymatlari — sonning butun qismi uchun;
  
• 
  manfiy qiymatlar — kasr qism uchun;
  
• 
  Misol: 23,4310=2*101+3*100+4*10-1+3*10-2
  

Nopozitsion sanoq sistemasida raqamlar o’zining miqdoriy qiymatini, ularning sondagi joylashishi o’zgarganda, o’zgartirmaydi. Bu turda sanoq sistemasiga Rim raqamlarini misol qilish mumkin. Bu sanoq sistemasida 7 ta belgidan foydalaniladi: I, V, X, L, C, D, M.
Ularni o’nli sanoq sistemasida mos keluvchi qiymatlari:
I(1) V(5) X(10) L(50) С (100) D(500) M(1000)
Misol: III – 3 LIX – 59 DLV – 555
Rim raqamlarini ifodalash murakkabligi va ular ustida arifmetik amallarni bajarish qoidalari yo’qligi ularni kamchiligi hisoblanadi. Shuning uchun, undan ayrim joylarda foydalaniladi. Biz, asosan, pozitsion sanoq sistemasidagi sonlar ustida ish olib boramiz.
Qadimda hisob ishlarida ko’proq barmoqlardan foydalanilgan. Shu sababli narsalarni 5 yoki 10 tadan taqsimlashgan . keyinchalik o’nta o’nlik maxsus nom - yuzlik , o’nta yuzlik – minglik nomini olgan va h.k
Turli davrlarda turli xalqlar, qabilalar raqamlar va sonlarni ifodalashda turlicha belgidan foydalanganlar.
Qadimda ba’zi xalqlar ishlatadigan sonlar alifbosi beshta, o’n ikkita, yigirmata, ba’zilari oltmishta belgini o’z ichiga olgan .
Sonlar sistemasidagi raqamlar soni shu sistemaning asosi deb yuritiladi.
Kundalik hayotimizda ishlatilayotgan o’nlik sanoq sistemasidagi sonlar ustida arifmetik amallar bajarish usullarini bilamiz. Mazkur usullari boshqa barcha pozitsiyaga bog’liq bo’lgan sanoq sistemasida qo’shish amalini ko’rsak, biz avval birliklarni, so’ng o’nliklarni, keyin yuzliklarni va hokazolarni o’zaro qo’shib boramiz.
Bu jarayon barcha pozitsiyali sanoq sistemalar uchun o’rinli bo’lib, toki oxirgi qiymat bo’yicha eng katta razryadni qo’shishgacha davom etadi. Mazkur jarayonda shu narsani doim eslash kerakki, agar biror razryad sonlarini qo’shganimizda natija sanoq sistemasi asosi qiymatidan katta chiqsa, yig’indining sanoq sistema asosidan katta bo’lsa keying razryadga o’tkazish kerak.
Masalan, o’nlik sanoq sistemasida:
193275₁₀
+ 79538₁₀
1983₁₀
___________
274796₁₀
Shuni yodda tutish kerakki, sanoq sistema asosining qiymati 10 deb hisoblanadi. Shu sababli ham sanoq sistemasi asosidan keying sonlar 11, 12, …. va h.k. deb yuritiladi.
Hisoblash texnikasida va dasturlashda asosi 2,8 va 16 ga teng bo’lgan sanoq sistemalari qo’laniladi.
Buni tushunish uchun, keling, misollarga murojat qilaylik. Masalan, sakkizlik sanoq sistemasida 8 ta raqamlar bor:
0, 1 , 2 , 3, 4, 5, 6, 7.
O’n oltilik sanoq sistemasida raqamlardan keyin lotin alfbosidagi bosh harflardan foydalaniladi.O’n oltilik sanoq sistemasida 9 ta raqam va 6 ta harf bor:
0, 1 , 2 , 3, 4, 5, 6, 7.8,9, A,B,C,D,E,F
Sanoq sistemalarining quyidagi jadvalini keltiramiz.

O’nlik s/s son	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Ikkilik s/s son	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	10001	1010
Sakkizlik s/s son	0	1	2	3	4	5	6	7	10	11	12
O’n oltilik s/s son	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A

Ikkilik sanoq sistemasida 2 ta raqam: o va 1 mavjud. Shu sistemada qo’shish, ayirish va ko’paytirish amallari quyidagicha bajariladi:

Qo’shish

0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10

Ayirish

0-0=0 1-0=1 0-1=1 10-1=1

Ko’paytirish

0*0=0 0*1=0 1*0=0 1*1=1

Endi ikkilik sanoq sistemasidagi sonlar ustida turli arifmetik amallar bajarishga doir misollar ko’ramiz.

1-misol. 110101₂ va 110011₂ sonlarning yigindisini toping.
Yechish. Bu sonlarni bir ustunga yozib, umumiy qoida bo’yicha qo’shamiz:
+ 110101₂
110011₂
­­­­­­­­­­­­­­­­­­__________
1101000 ₂ Javob: 1101000₂
2-misol. 101010₂ va 10011₂ sonlarning ayirmasini toping. Yechish. Bu sonlarni bir ustunga yozib, umumiy qoida bo’yicha ayiramiz:
__ 101010₂
1 0011₂
­­­­­­­­­­­­­­­­­­__________
10111 ₂ Javob: 10111₂
3-misol. 110011₂ va 101₂ sonlarning ko’paytmasini toping. Yechish. Bu sonlarni bir ustunga yozib, umumiy qoida bo’yicha ko’paytiramiz:


_X 110011₂
101₂
­­­­­­­­­­­­­­­­­­__________
₊ 110011
110011
___________
11111111₂ Javob: 11111111₂

4-misol. 1000010010₂ va 110101₂ sonlarning bo’linmasini toping.

Yechish. Bu sonlarni bir ustunga yozib, umumiy qoida bo’yicha bo’lamiz:

__ 1000010^,010 110101	110101
	1010
__110101 110101
0

Javob: 1010₂

Endi sakkizlik sanoq sistemasidagi sonlar ustida turli arifmetik amallar bajarishga doir misollar ko’ramiz:
1-misol. 47₈ va 135₈ sonlarning yigindisini toping.
Yechish. Bu sonlarni bir ustunga yozib, umumiy qoida bo’yicha qo’shamiz:
+ 47₈
135₈
­­­­­­­­­­­­­­­­­­__________
204₈ Javob: 204₈

2-misol. 1345₈ va 365₈ sonlarning ayirmasini toping.

Yechish. Bu sonlarni bir ustunga yozib, umumiy qoida bo’yicha ayiramiz:

__ 1345₈

365₈
­­­­­­­­­­­­­­­­­­__________
760₈ Javob: 760₈

3-misol. 54₈ va 136₈ sonlarning ko’paytmasini toping.

Yechish. Bu sonlarni bir ustunga yozib, umumiy qoida bo’yicha ko’paytiramiz:
_X 136₈
54₈
­­­­­­­­­­­­­­­­­­__________
₊ 570
726
___________
10050₈ Javob: 10050₈

4-misol. 424₈ va 21₈ sonlarning bo’linmasini toping.

Yechish. Bu 10111sonlarni bir ustunga yozib, umumiy qoida bo’yicha bo’lamiz:

_ 424 42	21
	2
4

Javob: 24₈
Endi o’n oltilik sanoq sistemasidagi sonlar ustida turli arifmetik amallar bajarishga doir misollar ko’ramiz:
1-misol. 4CE₁₆ va 21F₁₆ sonlarning yigindisini toping.
Yechish. Bu sonlarni bir ustunga yozib, umumiy qoida bo’yicha qo’shamiz:
+ 4CE₁₆
21F₁₆
­­­­­­­­­­­­­­­­­­__________
6ED₁₆ Javob: 6ED₁₆
2-misol. 90D₁₆ va 13D₁₆ sonlarning ayirmasini toping.
Yechish. Bu sonlarni bir ustunga yozib, umumiy qoida bo’yicha ayiramiz:
__ 90D₁₆
13D₁₆
­­­­­­­­­­­­­­­­­­__________
7D0₁₆ Javob: 7D0₁₆
3-misol. 1F₁₆ va 64₁₆ sonlarning ko’paytmasini toping.
Yechish. Bu sonlarni bir ustunga yozib, umumiy qoida bo’yicha ko’paytiramiz:
_X 1F₁₆
64₁₆
­­­­­­­­­­­­­­­­­­__________
₊ 7C
BA
___________
C1C₁₆ Javob: C1C₁₆



4-misol. 271₁₆ va 7D₁₆ sonlaining bo’linmasini toping.
Yechish. Bu 10111sonlarni bir ustunga yozib, umumiy qoida bo’yicha bo’lamiz:

_ 271 271	7D
	5
0

Javob: 5₁₆
Turli xil sanoq sistemalarida bo’lgan sonlar ustida arifmetik amallar bajarish.
1.Turli xil sanoq sistemalarida bo’lgan sonlar ustida qo’shish amalini bajarish.
a) 17₅ +6₈ ifodani 2 lik sanoq sistemasidagi yechimni toping. Yechish: Buning uchun biz sanoq sistemalari uchun keltirilgan jadvaldan foydalanamiz. Berilgan sonlarni ikkilik sanoq sistemasiga o’tkazib, ikkilik sanoq sistemasidagi qo’shish amalini tadbiq etamiz.
17₅ =10001₂ 6₈=110₂
17₅ +6₈ =10001₂ + 110₂ =10111₂ javob: 10111₂

b) Berilgan ifodani 12 lik sanoq sistemasidagi qiymatini toping.

15 ₁₂+2A₁₆=?
Yechish : Bu sonlarni 10 lik sanoq sistemasiga o’tkazamiz.
Quyidagi formulaga qo’yamiz.
N=а_кq^k+a_k-1 q^k-1+……+ a₁q¹+a₀q⁰+………
N₁=15₁₂ N₂=2A₁₆
1*12¹+5*12⁰=12+5=17₁₀ 2*16+A=32+10=42₁₀
17₁₀+42₁₀=59₁₀
Bu chiqqan soni 12 lik sanoq sistemasiga o’tkazish uchun bu soni bo’lish qoidasi orqali topamiz.
59:12=4 q(11) javob : 4B₁₂
2.Turli xil sanoq sistemalarida bo’lgan sonlar ustida ayirish amalini bajarish.
a) 37₈ – E₁₆ ifodani 8 lik sanoq sistemasidagi yechimni toping.
Yechish : Buning uchun biz jadvaldan foydalanib, E₁₆ sonini 8 lik sanoq sistemasiga o’tkazib, bir xil sanoq sistemasidagi ayirish amalini bajaramiz.
E₁₆ =16₈ teng bo’ladi.
37₈- E₁₆ = 37₈ - 16₈ =21₈ javob: 21₈

b) Berilgan ifodani 7 lik sanoq sistemasidagi qiymatini toping.

4B₁₆-65₇=?
Yechish : 4B₁₆ sonni 10 lik sanoq sistemasiga o’tkazamiz.
Quyidagi formulaga qo’yamiz.
N=а_кq^k+a_k-1 q^k-1+……+ a₁q¹+a₀q⁰+………
4*16¹+В*16⁰=64+11=75₁₀
75:7= 10 (5)
4В₁₆ =105₇
105₇ - 65₇ =40₇ javob : 40₇
3.Turli xil sanoq sistemalarida bo’lgan sonlar ustida ko’paytirish amalini bajarish.
а) 15₈ * 21₅ ifodani 5 lik sanoq sistemasida ko’paytmasini toping.
Yechish : Buning uchun biz jadvaldan foydalanib, 15₈ sonini 5 lik sanoq sistemasiga o’tkazib, bir xil sanoq sistemasidagi ko’paytirish amalini bajaramiz.
15₈ =30₅ teng bo’ladi. Endi bu sonlarni ko’paytirmiz
30_{5 *} 21₅ = 11 3 0_5
*30₅
21_5
+ 3 0
11 0
11 3 0 javob: 11 3 0₅

b) Berilgan ifodani 10 lik sanoq sistemasidagi qiymatini toping.

АF₁₆*23₈=?
Yechish : Bu sonlarni 10 lik sanoq sistemasiga o’tkazamiz.
Quyidagi formulaga qo’yamiz.
N=а_кq^k+a_k-1 q^k-1+……+ a₁q¹+a₀q⁰+………
А*16¹+F*16⁰=10*16+15*1=160+15=175₁₀
2*8+3=19₁₀ AF₁₆ =175₁₀
175_{10 *}19₁₀ =
_*175₁₀
19_10
+ 1575
175
3325₁₀ javob 3325₁₀

4.Turli xil sanoq sistemalarida bo’lgan sonlar ustida, bo’lish amalini bajarish.

Sakkizlik sanoq sistemasidagi 11730 sonini o’n oltilik sanoq sistemasidagi 14 soniga bo’ling.Natijani 8 lik sanoq sistemasida ifodalang.
Yechish : Buning uchun biz jadvaldan foydalanib, ikkinchi sonini 8 lik sanoq sistemasiga o’tkazib, bir xil sanoq sistemasidagi bo’lish amalini bajaramiz.
14₁₆ =24₈ teng bo’ladi. Endi bu sonlarni bo’lamiz..
11730₈ : 14₈ = 376₈

_ 11730 74	24
	376
_233 214
_170 170
0

Javob: 376₈

Sanoq sistemalarida turli xil arifmetik amalarni bajarish uchun biz o’nlik sanoq sistemasidagi arifmetik amallarni yaxshi bilishimiz zarur. Kompyuterda 2,8,16 lik sanoq sistemalar qo’laniladi.

Axborotlarni 2lik sanoq sistemasida kodlash uchun bu sanoq sistemalaridan foydalaniladi.Aynan 2,8,16 lik sanoq sistemalarini tanlash 8,16 sonlari 2 sonning darajasi bo’lganligi sababli, shuni xulosa qilib aytganda arifmetik amallarni turli xil bo’lgan sanoq sistemalarida qo’lash uchun matematika fanini chuqur o’zlashtirishimiz kerak bo’ladi. Turli xil sanoq sistemalarida arifmetik amallarni bajarish uchun ularni 10 lik sanoq sistemasiga o’tkazib olib bajariladi va keyin 10 lik sanoq sistemasiga chiqan soni o’sha sanoq sistemasidagi qonuniyat asosida o’tkaziladi.