Самостоятельная работа студентов

x ²  2x

;
dx
x

б) _ ³ 4  2xdx ; в) _sin(3  4x)dx; г) _^2 dx;
д) _ e^{2 x7} dx;


_е) dx _; (2x  1) ³ ln ² (2x  1)

Задание 2. Найти неопределенный интеграл методом подстановки:


^{№ 1 а) sin 2x} dx;
1  3cos 2x

б) _cos³ 5x  sin 5x dx;

в) _tg ⁵ xdx;

Задание 3. Найти неопределенные интегралы, используя метод интегрирования по частям:
№ 1 а) _ x  arctgxdx;
б) _ x  cos(x  4)dx; ;



2
в) _ x  ln(x  2)dx.

Задание 4. Найти неопределенные интегралы:

№ 1 а)
dx _;


x ²  4x  3

 2
_б) 2x  3 _dx;
x  x  5


в) _^{x  3} dx.
Задачи для средних студентов. Со студентами этой группы надо отработать и решение более сложных (чем задачи минимума) примеров [138], [187].
Задание 1. Найти определенные интегралы непосредственно:

№ 1 а) _ 2sin ² x dx;

4x
2
б) _{ x 2  1} dx;


в) _3tgx  2ctgx ² dx;

Задание 2. Найти неопределенный интеграл методом подстановки:

№ 1 а) _
xdx _;

_ dx;

б)
1  x
 x  1

в) _tgx  ln cos x dx.

Задание 3. Найти неопределенные интегралы, используя метод интегрирования по частям:


№ 1 а)
ln(cos x) _dx; cos ² x

б) _
1 x arccos
dx;

в) _e^4x1  sin(x  6)dx.

Задание 4. Найти интеграл, используя подходящую подстановку

x  (t) :

№ 1 а) _
1  x ²
_x 2


dx;

б) _
dx x 1 
x ^;

в) _
9  x² dx.

Задание 5. Используя метод интегрирования по частям доказать, что:

№1 _
e^ax  cos bx dx  ^{a cos bx  b sin bx}  e^ax  C
a ²  b²

Задачи для сильных студентов. Со студентами этой группы надо отработать сложные задачи или задачи на доказательства.

Понятно, что студенты этой группы должны хорошо решать задачи уровня 1 и 2 (см. выше). При работе со студентами этой группы можно ориентироваться, например, на задачник Г.Н. Бермана [Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 1985.- 436 с.], причем

задачи повышенной (по сравнению со средним уровнем) сложности задавать индивидуально для работы в аудитории и самостоятельно – дома. Кроме подтем указанных ранее задач, студенты этой группы должны решать и задачи таких подтем, как:
а) непосредственное интегрирование (например, найти интегралы, используя формулы тригонометрии для преобразования подынтегрального выражения: задачи №1825 и №1831 из [Берман Г.Н.Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 1985.- 436 с., с.119]);
б) замена переменной (например, найти интегралы, используя метод замены переменной: задачи №1902 и №1904 из [Берман Г.Н.Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 1985.- 436 с., c.121]);
в) разные задачи (найти интегралы: задачи №1968, №1995, №2006 и
№2008 из [Берман Г.Н.Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 1985.- 436 с., c.123]);
Из теоретических упражнений рассматриваемой здесь темы студенты этой группы должны уметь доказывать и такие упражнения, как [Берман Г.Н.Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 1985.- 436 с., c.54-55].

1. 
   Считая, что функция
   

интегрируема на отрезке 0; 1.
sin x x
равна 1 при x=0, доказать, что она


¹  ^{sin x} 2
¹ sin x

2. 
   ^{Какой из интегралов больше:} 
   

₀ 
 ^dx

x

или _
0
dx ?
x

3. 
   Пусть f (t) – непрерывная функция, а функции
   

_d  ( x)
(x) и (хх)

дифференцируемые. Доказать, что
_ f (t)dt 

dx
 ( x)
f  (x) ^(x)  f [(x)]^(x).

Использование рейтинговой системы позволяет добиться более ритмичной работы студента по высшей математике в течение семестра, а так же активизирует познавательную деятельность студентов путем

стимулирования их творческой активности. Введение рейтинга может вызвать увеличение нагрузки преподавателей за счет дополнительной работы по структурированию содержания дисциплин, разработке заданий разного уровня сложности и т.д. Но такая работа позволяет преподавателю раскрыть свои педагогические возможности и воплотить свои идеи совершенствования учебного процесса.
Весьма полезным, на наш взгляд, может быть тестовый контроль знаний и умений студентов, который отличается объективностью, экономит время преподавателя, в значительной мере освобождает его от рутинной работы и позволяет в большей степени сосредоточиться на творческой части преподавания, обладает высокой степенью дифференциации испытуемых по уровню знаний и умений и очень эффективен при реализации рейтинговых систем, дает возможность в значительной мере индивидуализировать процесс обучения путем подбора индивидуальных заданий для практических занятий, индивидуальной и самостоятельной работы, позволяет прогнозировать темпы и результативность обучения каждого студента.
В последние годы в ХПИТТУ имени академика М.С. Осими применятся тестовая рейтинговая система по всем предметам. В особенности можно выделит предмет высшей математики, которая с помощью так называемый «Детонатор задач» составляется материалы (билеты) итогового экзамена. Итоговые экзамены берутся со сторонами администрации, и результат проверяется с компьютерами. Приведем пример итогового экзамена студентов по высшей математике задачи с параметрами, которая показана в таблице 3.