Самостоятельная работа на соискание академической степени магистра

2.5 Схема Брандса
Схема Брандса [Brand] выделяется из всех автономных систем электронных платежей благодаря, во-первых, своей высокой эффективности, а во-вторых, попыткой обосновать ее стойкость. В работе [Brand] сформулирован ряд результатов, утверждающих стойкость этой системы. Мы оцениваем их осторожно, как попытку обоснования стойкости, поскольку в работе нет достаточно формальных определений, а за доказательствами автор отсылает к своему техническому отчету.
Всюду ниже мы будем обозначать покупателя через U, а продавца -- через S.
Инициализация системы. Банк выбирает тройку порождающих  группы  простого порядка и число  . Кроме того, он выбирает две хэш-функции (в работе они названы хэш-функциями с трудно обнаружимыми коллизиями)  и  .  отображает пятерки элементов группы  в  , а  -- пары элементов  -- в  . Кроме того,  зависит, например, от некоторого значения  , идентифицирующего S, а также -- от времени и даты  выполнения транзакции. Отмечается, что этот формат функции  выбран лишь для примера. Банк публикует описание группы  (простые числа  и  , если  ), тройку  и функции  ,  в качестве своего открытого ключа. Секретным ключом банка является число  . В описаниях протоколов появляется также еще некоторое значение  , которое в работе нигде не определяется, но из анализа протоколов можно понять, что  и это значение должно публиковаться как часть открытого ключа.
Подпись  банка для пары  ,  есть четверка  , где  ,  , такая, что

Открытие счета. U выбирает число  и вычисляет  . Если  , то U передает значение  банку, а  хранит в секрете. Для безопасности банка существенно, чтобы значения  были различными для разных клиентов. Банк вычисляет  и передает это значение U.
Снятие со счета. Прежде чем снять электронную монету со счета, U должен пройти аутентификацию, т. е. доказать банку, что он является владельцем данного счета. Затем выполняется следующий протокол.  1. Банк выбирает число  и посылает  и  клиенту U.
2. U выбирает три числа  ,  и вычисляет  ,  и  . Кроме того, U выбирает числа  и вычисляет  и  . Затем он вычисляет  и посылает запрос  банку.
3. Банк посылает ответ  и снимает со счета U соответствующую сумму. U принимает ответ тогда и только тогда, когда  и  . Если эти условия выполнены, U вычисляет  . Пара  и подпись банка  для нее образуют электронную монету.
Платеж. В транзакции платежа U и S выполняют следующий протокол.  1. U посылает S электронную монету:  ,  ,  .