Samarqand qishloq xo’jalik instituti

1 

 

SAMARQAND QISHLOQ XO’JALIK 

INSTITUTI 

 

 

 

Oliy matematika va axborot texnologiyalari  

Kafedrasi o’qituvchisi   

Eshonqulov Sirojiddin Xakimovichning 

“Oliy matematika” fanidan  

“Ko’p o’zgaruvchili funksiyalar” mavzusidagi 

OCHIQ DARS 

ISHLANMASI 

 

 

 

 

 

Samarqand 2016

 

 

2 

 

Mavzu: Ko’p o’zgaruvchili funksiyalar

 

Amaliy mashg’ulotini o’qitish tехnologiyasi 

Talabalar soni 25-30 

Mavzu, 2 soat 

Mashg’ulot shaкli 

Tеmatiк  ma’ruza 

Mashg’ulot 

rejasi 

1. Ikki o’zgaruvchili funkyiya, uning aniqlanish va qiymatlar sohalari, limiti, 

uzluksizligi 

2. Ikki o’zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari 

3. Ikki o’zgaruvchili funksiyaning ekstremumi 

O’quv 

mashg’ulotining 

maqsadi 

Mavzuning 

turli 

aspекtlari 

bo’yicha 

o’z 

nuqtai 

nazaridan 

argumеntlashtirilgan bayonining кo’niкmalarini rivojlantirish. 

Pеdagogiк vazifalar: 

O’quv faoliyati natijalari: 

-Ikki 

o’zgaruvchili 

funkyiya, 

uning 

aniqlanish 

va 

qiymatlar 

sohalari, 

limiti, 

uzluksizligi haqida tushuncha berish; 

 - Ikki o’zgaruvchili funksiyaning hususiy 

hosilalari haqida tushuncha berish; 

 - Ikki o’zgaruvchili funksiyaning ektremumi 

haqida tushuncha berish; 

 

-Ikki  o’zgaruvchili  funkyiya,  uning  aniqlanish  va 

qiymatlar  sohalari,  limiti,  uzluksizligi  haqida 

tushuncha oladilar; 

 -Ikki o’zgaruvchili funksiyaning hususiy 

hosilalari haqida tushuncha oladilar; 

-Ikki  o’zgaruvchili  funksiyaning  ekstremumi 

haqida tushuncha oladilar; 

 

O’qitish usullari 

Amaliy, blis-so’rov, кlastеr, suhbat, insеrt tехniкasi. 

O’qitish vositalari 

Dosкa, topshiriqlar, tarqatma matеriallar. 

O’qitish shaкllari 

Yaккa tartibda ishlash, кollекtiv ish. 

O’qitish sharoiti 

Oddiy o’quv auditoriyasi 

Monitoring va baholash 

Кuzatish, savol- javob, tеst. 

 

Amaliy mashg’ulotining tехnologiк хaritasi  

Ish bosqichlari 

O’qituvchi faoliyatining mazmuni 

Talaba 

faoliyatining 

mazmuni 

1-bosqich. 

Mavzuga кirish 

(10 daqiqa) 

1.1. O’quv mashg’uloti mavzusi, maqsadi va o’quv faoliyati 

natijalarini aytadi. 

1.2.  Shu  mavzu  bo’yicha    tarqatma  matеriallarni  tarqatadi, 

mashg’ulot rеjasi bilan tanishtiradi.   

Mavzu nomini 

yozib oladi 

2-bosqich. 

Asosiy bo’lim 

2.1. Savollarga o’ylanib javob bеrishni so’raydi 

2.2.  Mavzuda  nima  haqida  gap  кеtadi?,  tayanch  iboralar  va 

tеrminlarni  aytishni,  ularning  кеtma-кеtligini  aniqlashni 

Mavzu rеjasini 

yozib oladi. 

Tinglaydi. 

3 

 

(60 daqiqa) 

 

so’raydi.  

2.3.  Blis  -so’rov  o’tкazadi.  Javoblarni  dosкaga  yozadi, 

talabalardan кlastеr кo’rinishida ifodalashni so’raydi.  

2.4.  Ish  jarayonida  javoblarni  to’g’rilaydi,  aniqlaydi  va 

tuzatadi. to’g’rilaydi, aniqlaydi va tuzatadi.  

Savollarga javob 

bеradi. 

Savollarga javob 

bеradi. Кlastеr 

tuzadi. 

Tinglaydi. 

3 – bosqich. 

Yaкunlovchi  

(10 daqiqa) 

3.1.  Хulosa  qiladi.  Mavzuning  asosiy  holatlariga  e’tibor 

bеrishni so’raydi.  

3.2.  Talabalar  topgan  tayanch  iboralar  va  tеrminlar  кеtma-

кеtligi  struкturasi,  haqiqiysiga  to’g’ri  кеlishini  tекshiradi. 

Natijalarni izohlaydi. 

3.3.  Talabalar  bilimini  baholaydi,  кim  yaхshi  va  yomon 

qatnashganini e’lon qiladi. 

3.4. Mustaqil o’rganish uchun tеst savollarini bеradi.  

Savollar bеradi. 

 

Tinglaydi. 

 

Yozib oladi. 

 

 

Yozadi. 

 

Mavzu: Ko’p o’zgaruvchili funksiyalar  

 

Reja: 

1. Ikki o’zgaruvchili funkyiya, uning aniqlanish va qiymatlar sohalari, limiti, 

uzluksizligi 

2. Ikki o’zgaruvchili funksiyaning xususiyhosilalari 

3. Ikki o’zgaruvchili funksiyaning ektremumi 

  

1. Ikki o’zgaruvchili funkyiya, uning aniqlanish va qiymatlar sohalari, limiti, 

uzluksizligi 

Ta’rif:        Biror    D    to’plamning    har  bir 

haqiqiy    sonlari    juftligiga  

biror  qoidaga  asosan  E  to’plamning  bitta  z  haqiqiy  soni  mos qo’yilsa 

  

 

 

 

    

            

 

 

 

 

(1) 

bog’lanishga    ikki    o’zgaruvchili    fynktsiya    deyiladi.  (1)    bog’lanishni  

quyidagicha ham  ifodalash mumkin: 

      

(2) 

D    to’plam    berilgan    fynktsiyaning    aniqlanish    sohasi,  E  to’plam  esa 

fynktsiyaning  o’zgarish sohasi  (qiymatlar  sohasi)dan  iborat.  

)

,

(

y

x

)

,

(

y

x

z

)

,

(

),

,

(

2

1

y

x

f

z

x

x

f

y

4 

 

Ta’rif:      Ikki  o’zgaruvchili 

 fynktsiyaning    aniqlanish  sohasi 

deb, x  va  y  o’zgaruvchilarning D  to’plamdagi  shunday  qiymatlar  sistemalariga  

aytiladiki,  bunda  har    bir    qiymatlar    sistemasi    uchun  E  ning    bitta  haqiqiy    son 

qiymati  mos  keladi.  

Ta’rif:      z  fynktsiyaning  qabul  qiladigan  E    to’plamdagi    barcha  qiy-

matlariga  fynktsiyaning  o’zgarish sohasi  deyiladi.  

Misol 1: Ushbu  

 

fynksiyaning aniqlanish sohasini toping. 

 

Yechish:  funksiyaning  aniqlanish  sohasi  

 nuqtalar 

to’plami, 

ya’ni  

  

yoki 

 

 

bajariladigan  nuqtalar  to’plami  bo’ladi.  Bu 

to’plamga  tekislikning 

 aylana 

nuqtalaridan  tashqari  hamma  nuqtalari  tegishli 

bo’ladi  

 

2. Ikki o’zgaruvchili funksiyaning xususiyhosilalari 

Agar  z=f(x;  y)    ikki  argumentli  funksiyaning  x  argumentiga 

 orttirma 

berilib, y argumenti o’zgarishsiz qoldirilsa, u holda z  funksiya 

 orttirma oladi. 

Bu orttirmani z funksiyaning  x o’zgaruvchi bo’yicha xususiy orttirmasi deyiladi va  

  ko’rinishda yoziladi. Xuddi shuningdek  y o’zgaruvchi 

bo’yicha xususiy orttirma 

  ko’rinishda bo’ladi. 

Agar 

  chekli limit mavjud bo’lsa, uni  z  funksiyaning x  o’zgaruvchi 

bo’yicha xususiy hosilasi deyiladi va  

  yoki   

  ko’rinishda yoziladi. 

 

Xuddi shuningdek 

 

)

,

(

y

x

f

z

x

x

z

x

z

f x

x; y

f x; y

y

z

f x; y

y

f x; y

0

x

x

z

lim

x

z

x

x

f

x ; y

0

0

x

x

x

x

f x

x; y

f x; y

z

z

lim

lim

f

x; y .

x

x

x

0

0

y

y

y

y

z

f x; y

y

f x; y

z

lim

lim

f

x; y .

y

y

y

5 

 

z=f(x;  y)  funksiyaning  to’la  orttirmasi   

  

formula  yordamida  topiladi.  Boshqacha  aytganda  to’la  orttirma,  funksiyaning 

xususiy orttirmalari yig’indisiga teng. 

z=f(x; y) funksiyaning (x

0

; y

0

) nuqtadagi limiti:   

 

z=f(x; y) funksiyaning (x

0

; y

0

) nuqtadagi uzluksizligi:   

 

z=f(x;  y)  funksiyaning  to’la  differensiali  xususiy  hosilalarning  erkli 

o’zgaruvchilar differensiallari ko’paytmalarining yig’indisiga teng: 

 

Shuningdek  

 

Misol  2. 

   funksiyaning  xususiy  orttirmalarini,  to’la  orttirmasini, 

uzluksizligini, xususiy hosilalarini, to’la differensialini,  (2; 3)  nuqtadagi limitini 

aniqlang. 

Yechilishi.  Xususiy orttirmalar: 

 

To’la orttirma: 

 

Uzluksizlik: 

 

 

Limit: 

 

z

f x

x; y

y

f x; y

0

0

x

x

y

y

lim f x; y

A.

0

0

0

x

y

lim z

.

z

z

dz

dx

dy.

x

y

2

2

2

2

2

2

2

2

2

z

z

z

d z

dx

dxdy

dy .

x y

x

y

2

2

z

x

y

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

x

y

z

x

x

y

x

y

x

x

x

x

y

x

y

x

x

x

.

z

x

y

y

x

y

x

y

y

y

y

x

y

y

y

y

.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

z

x

x

y

y

x

y

x

x

x

x

y

y

y

y

x

y

x

x

x

y

y

y

.

2

2

2

2

0

0

0

0

2

2

2

0

0

2

0

0

0

x

x

y

y

lim z

lim

x

x

x

y

y

y

x

y

.

2

2

2

2

2

2

3

3

2

3

13

x

x

y

y

lim z

lim x

y

.

6 

 

 

Xususiy hosilalar: 

 

 

To’la differensial: 

 

 

 

Misol  3.   

   funksiyaning  xususiy  hosilalarini  va  to’la 

differensialini toping. 

 

Yechilishi.  y  o’zgarmas deb, x bo’yicha xususiy hosila topiladi: 

 

 

x  o’zgarmas deb, y bo’yicha xususiy hosila topiladi: 

 

 

Bulardan foydalanib to’la differensial yoziladi: 

 

 

Misol 4.  

  funksiyaning xususiy hosilalarini toping. 

 

Yechilishi. y va  z  larni o’zgarmas deb, x bo’yicha xususiy hosila topiladi: 

 x va  z  larni o’zgarmas deb, z bo’yicha xususiy hosila topiladi: 

 x va  y  larni o’zgarmas deb, z bo’yicha xususiy hosila topiladi: 

2

2

z

z

x ,

y.

x

y

2

2

dz

xdx

ydy.

x

z

arcsin

y

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

1

x

z

x

.

x

y

y

y

x

y

x

y

x

x

y

y

y

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

y

z

x

x

x

x

.

y

y

y

y

x

y

x

y y

x

x

y

y

y

2

2

2

2

1

x

dz

dx

dy.

y

x

y y

x

2

2

2

1

u

x

y

z

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

2

2 1

2 1

1

x

u

x

x

y

z

x

.

x

x

y

z

x

y

z

x

y

z

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

2

2 1

2 1

1

y

u

y

x

y

z

y

.

y

x

y

z

x

y

z

x

y

z

7 

 

 

Misol  5.    Ushbu     

   funksiyaning   

   dagi  limitini 

hisoblang. 

 

Yechilishi. 

 

3. Ikki o’zgaruvchili funksiyaning ektremumi 

funksiya ekstremumi  mavjudligining  zaruriy  sharti:   

 

ekstremum  nuqta  bo’lsa, 

  bo’ladi.  

Ekstremum  mavjudligining yetarli sharti:  Ikkinchi  tartibli  xususiy 

hosilalarning 

ekstremum  nuqtadagi  qiymatlari  

 

 

 bo’lsin. Bulardan 

 diskriminant  tuziladi:  

1) 

da  funksiya 

 nuqtada  maksimumga  erishadi;  

2)  

da  funksiya 

 nuqtada  minimumga  erishadi; 

3) 

 bo’lsa, 

 nuqtada  ekstremum  mavjud emas;   

4)  

 bo’lsa,  ekstremum  mavjud  bo’lishi ham,  bo’lmasligi  ham  

mumkin. 

Misol 6. 

  funksiyaning  ekstremum  qiymatini  

toping. 

Yechilishi.   funksiyaning  xususiy  hosilalari   topiladi; 

  

 

 

 

Xususiy hosilalar nolga tenglanib kritik nuqtalar topiladi: 

 

 

Ikkinchi tartibli xususiy hosilalar topiladi: 

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

2

2 1

2 1

1

z

u

z

x

y

z

z

.

z

x

y

z

x

y

z

x

y

z

5

z

x

y

1 2

x; y

;

1 2

5

5 1 2

2

x ; y

;

lim

x

y

.

)

,

(

y

x

f

z

0

0

0

M ( x , y )

0

)

,

(

)

,

(

0

0

1

0

0

1

y

x

f

y

x

f

y

x

0

0

0

M ( x , y )

0

0

(

,

),

xx

A

f

x y

0

0

(

,

),

xy

B

f

x y

11

0

0

yy

C

f ( x , y )

2

B

AC

0

,

0

,

0

C

A

z

0

M

0

,

0

,

0

C

A

z

0

M

0

0

M

0

20

6

9

2

2

y

x

y

xy

x

z

z

;

9

2

y

x

x

z

2

6.

z

y

x

у

0

2

9

0

2

9

2

9

4

4 1

2

6

0

2 2

9

6

0

4

1

x

y

y

x

y

x

x

M (

; ) .

y

x

( x

)

x

x

y

8 

 

 

     

 

 

Demak, A=2, 

 

B= -1; 

 

C=2. 

 

U holda 

 

 

Bulardan 

 

 

 

 

 

 

Demak,   funksiya 

 kritik nuqtada minimumga ega:  

 

Misol 7.  

 funksiyaning ekstremum qiymatini toping. 

Yechilishi: 1. 

 

 

 

 

2. 

 

3. 

 

  

 

4. 

 

 

 

 

5. 

 

6. 

 

 

   

 

Demak,   funksiya 

 kritik nuqtada maksimumga ega. 

 

Misol 8. 

 funksiyaning ekstremumini aniqlang. 

Yechilishi. 

1. 

   

 

;

2

2

2

x

z

;

1

2

y

x

z

.

2

2

2

y

z

.

0

3

)

1

(

2

2

2

2

B

AC

,

0

3

,

0

2

A

.

0

2

C

z

0

4 1

M (

; )

.

1

20

1

6

)

4

(

9

1

1

)

4

(

)

4

(

2

2

min

z

y

x

y

x

y

z

6

2

;

1

2 x

y

x

z

.

6

2 y

x

y

z

0

2

0

2

1 0

0

2

4

2

0

4 4

2

2

4

2

2

6 0

2

6 0

2

6 0

x

y

y

x

y

x

x

y

x

M ( ; ) .

x

x

y

x

x

y

x

y

x

y

;

4

3

2

2

x

y

x

z

;

2

1

2

x

y

x

z

.

2

2

2

y

z

;

8

1

4

4

4

3

A

;

4

1

4

2

1

B

.

2

C

.

16

3

16

1

4

1

)

4

1

(

)

2

(

8

1

2

2

B

C

A

,

0

16

3

,

0

8

1

A

.

0

2

C

z

0

4 4

M ( ; )

.

z

max

12

4

6

4

4

4

4

2

y

x

xy

z

2

4

2

;

4

2 y

x

z

2

2.

z

x

у

9 

 

2. 

 

3. 

 

 

 

4. 

 

5.

 

Demak, ekstremum mavjud emas. 

MUSTAQIL BAJARISH UCHUN TOPSHIRIQLAR 

Quyidagi funksiyalarning xususiy orttirmalarini, to’la orttirmasini, 

uzluksizligini,    (1; 1)  nuqtadagi limitini aniqlang: 

   

 

 

 

Quyidagi funksiyalarning xususiy hosilalarini va to’la differensialini toping: 

12. 

 

13. 

. 

14. 

 

15. 

 

16. 

 

17. 

 

18. 

  

19.

 

Quyidagi funksiyalar xususiy hosilalarining  M

0

(3; 4)  nuqtadagi qiymatini 

hisoblang: 

0

2

4

0

1

1 2

2

2

0

2

y

x

M ( ; ).

x

y

;

0

2

2

x

z

;

2

2

y

x

z

.

0

2

2

y

z

.

0

,

2

,

0

C

B

A

.

0

4

2

B

AC

2

4

3

2

2

3

3

3

3

2

3

786

787

2

3

788

789

790

791

.z

x

y

.

.z

x

x y

y .

.z

x

y .

.z

x

y .

.z

x

xy

y .

x

.z

.

y

2

2

2

3

2

2

2

3

792

793

794

795

796

.z

x

y

.

.z

x

xy

y .

.z

x

y .

.z

x

xy

y .

y

.z

.

x

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

y y

x

x x

y

xy

z

.

Javobi : dz

dx

dy.

x

y

x

y

x

y

2

2

2

2

2

1

y

x y

z

arcsin

.

Javobi :dz

dx

dy

x

x

y

x

y

2

2

2

2

2

2

2

2

4

4

4

x

y

z

ln

x

y

.

Javobi : dz

dy

dy.

x

y

x

y

2

2

2

1

2

4

2

4

2

4

y

z

y

x

.

Javobi :dz

dx

dy.

y

x

y

x

2

2

2

2

2

2

4

4

4

x

y

z

x

y

Javobi :

dx

dy.

x

y

x

y

2

2

2

2

2

2

y

z

ln x

x

y

.

Javobi : dz

dx

dy.

x

x

y

x

y

2

2

2

2

2

2

9

9

9

x

y

z

x

y

.

Javobi : dz

dx

dy.

x

y

x

y

2

2

3

3

2

3

3

2

2

2

2

3

3

3

2

z

x

y

xy

.

Javobi : dz

x

y

xy

x

y

dx

y

xy dy

      1 

      2 

      3 

      4 

      5 

      6 

 

     7 

     8 

     9 

    10 

    11 

 

10 

 

20. 

 

21. 

 

Quyidagi limitlarni hisoblang: 

22. 

  24. 

 

23. 

 

25. 

 

Quyidagi ikki argumentli funksiyalarning ekstremum qiymatlarini aniqlang: 

26. 

       J.:

 

31. 

          J.: 

 

27. 

          J.: 

 

32. 

          J.:

 

28. 

J.: 

 

33. 

 

29. 

 

34. 

 

30. 

 

35. 

 

 

2

2

3 4

3 4

1 6

1 8

;

;

z

z

z

x

y

x

y .

Javobi :

, ,

, .

x

y

2

2

3 4

3 4

0 12

0 16

;

;

z

z

z

ln x

y .

Javobi :

,

,

,

.

x

y

0 0

2

4

1

4

x ; y

;

xy

lim

.

Javobi :

.

xy

0 0

1

x ; y

;

sin x y

lim

.

Javobi : .

xy

0 0

x ; y

;

x

lim

.

Javobi :mavjud emas.

x

y

0 0

3

x ; y

;

tg xy

lim

.

Javobi : .

y

).

2

(

y

x

xy

z

.

27

8

min

z

.

3

3

3

xy

y

x

z

.

1

min

z

).

(

2

2

y

x

e

z

x

.

2

min

e

z

).

2

(

y

x

xy

z

.

28

8

min

z

.

9

6

2

2

y

x

xy

y

x

z

.

21

min

z

2

6

12

max

z

y x

y

x

y. J . : z

.

3

3

8

6

1

0

min

z

x

y

xy

.

J . : z

.

2

2

3

6

9

min

z

x

y

x

xy

y . J . : z

.

2

2

2

4

2

8

0

min

z

x

y

x

xy

y

. J . : z

.

3

2

2

2

2

5

0

min

z

x

xy

x

y .

J . : z

.