Samarqand iqtisodiyot va servis instituti oliy matematika kafedrasi

Q¹  Q , QAQ  Q¹  A  Q  A Q ² , ni A aniqlovchi musbat songa ko„paymoqda. Bizga berilgan quyidagi kvadratik forma


n
f   a_ij x_i x _j (16)
i, j1

Buni quyidagicha yozish mumkin

f  x , x		, , x			n1	x x		 a		x^2	,
	2			n1	 2 a		n		nn
1					i1	in i				n
bu yerda  f x11 , , xn 
			kvadratik hadlaridan tuzilgan n 1

forma. Bu yerda  kvadratik formaning hamma bosh minorlari

(17)

no‟malumli kvadratik

6. 
   kvadratik formaga
   

qatnashadi.

Faraz qilaylikki f forma musbat aniqlanmagan. U vaqtda  forma ham musbat aniqlanmagan bo„ladi.

14

Faraz

qilaylikki f x1 , x2 , , xn 

bosh

minorlari musbat aniqlangan y vaqtdan,

shartdan

 kvadratik

formaning bosh minorlari

musbat aniqlangan

bo„ladi

(17) va

asosan

f

kvadratik formani quyidagi ko„rinishga keltirish mumkin

f 

n1

n1

y

y

 b

y ^2

(18)

 y ^2

 2  b

i

n

i

in

nn

n

i1

i1

^bnn

 koeffitsiyentlarni aniq ko„rinishi shart emas. Chunki

yi^2  2b1n yi yn  yi

 bin yn ^2  bin yn^2 ,

shuning

uchun

aynimagan

almashtirishlar

natijasida

zi  yi  bin ,i 1,2, , n 1, zn

 yn

f

kvadratik

formani quyidagi

kanonik

formaga keltirish mumkin


n1
f   z_i²  Cz_n² , (19)
i1

Bu yerda f formani musbat aniqlanganligini isbot qilish uchun C ni musbatlini

ko„rsatish kerak.

Bu yerda (19) ni o„ng tomonidagi aniqlovchi C bo„lishi kerak, chunki (19) ni o„ng tamonidagi ifoda

ga teng. Bu aniqlovchi musbat f kvadratik formadan ikki marta

chiziqli almashtirish natijasida olingan aniqlovchi f formaning bosh minori bo„lib, musbatdir

§5. Kvadratik formalarga ta’luqli misol va masalalar

1-masala. Kvadratik formaning matritsasini yozing

6. 
   x₁, x₂ , x₃  2x₁²  5x₂²  8x₃²  4x₁x₂  2x₁x₃  6x₂ x₃ ,
   

Yechish: a11  2, a22  3, a33  8, a12  a21	 2, a13  a31  1a23  a32  3
Bularni o„rniga quyidagini yozish mumkin.
	221	
		
A  	2 53
	138	
		

2-masala. Kvadratik formani kanonik ko„rinishga keltirish

6. 
   x₁, x₂  27x₁² 10x₁x₂  3x₂²
   

Yechish: a₁₁  27, a₁₂  5, a₂₂  3

Harakteristik tenglamani tuzamiz

15

275	 0;
5 3

27  3   25  0

² 30 360,₁ 2,₂ 28

3-masala. Ikkinchi tartibli kanonik ko„rinishga keltiramiz:

17x² 12xy  8y  8y²  20  0

Yechish: Oldin koeffitsiyentlarini topamiz

a₁₁ 17; a₁₂  6; a₂₂  8


^17 6^
A^ ^
_ 68_
Endi harakteristik tenglamani tuzamiz

17 6 _0

6 8

17  8 36  0,

²  25 100  0,

₁  5,₂  20.

Natijada:

5x'²  20y'²  20  0;
^x2  ^y2 1 ellipisning kanonik tenglamasi.

4 1

4-masala. Ikkinchi tartibli egri chiziqlini tenglamasini kanonik ko„rinishga keltiring:

2x²  8xy  8y²  20  0.

Yechish: Oldin koeffitsentlarni topamiz.

a  2; a  4, a			 8,		2	4	
		22		A  			
11	12				4	8	
							

Endi harakteristik tenglamani tuzamiz.

2 4 _0

4 8  

16

2  8 16  0

² 10  0

₁  0, ₂ 10

Natija: 10y'²  20  0
^y2 1, parabolaning kanonik tenglamasi.

2
5-masala. Ikkinchi tartibli egri chiziq tenglamasini kanonik ko„rinishga keltirish:

6x²  2 5xy  2 y²  21 0

Yechish: Oldin koeffitsentlarni topamiz

a₁₁  6, a₁₂  5,a₂₂  2

						
	6			5
A  						
	5			3		
						

Endi harakteristik tenglamani tuzamiz

6 5 _0


5 2

6250

² 870

₁⁷₆,₂⁸₆

Natijada: ⁷₆ x'²  ¹₆ y'²  21  0


^{x '2}  ^{y '2} 1 ellipsning kanonik tenglamasi.

18 126

6-masala. Ikkinchi tartibli egri chiziqning tenglamasini kanonik ko„rinishga keltiring:

22x²  2 69xy  2 y²  4  0.

Yechish: Oldin koeffitsiyentlarni topamiz

									
					22			69
	 22, a 	69, a  2, A 							
a									.
11	12	22							
					69			2 

Endi harakteristik tenglamani tuzamiz

22 2   69 0

² 24 250

 ⁴⁹, ¹.


_{1 2 2 2}

17

Natijada

49. 
    x'²  ^y'2 1 giperbolaning kanonik tenglamasi.
    

88
7-masala. Ikkinchi tartibli egri chiziq tenglamasini kanonik ko„rinishga keltiring:

2x²  6xy  2y²  5  0

a₁₂  a₂₁  3


a₂₂  2

Yechish: Oldin koeffitsiyentlarni topamiz.

a  2, a  3, a			 2,		2 3	
		22		A  		
11	12				3 2	
						

Koeffsiyentlarga asoslanib harakteristik tenglamani tuzamiz

2 3 _0

3 2

2290

² 430

₁  1,₂  3

Natijada
 x'²  5y'²  5  0

x'² _ y'² _1

5 1
giperbolaning kanonik tenglamasi.

8-masala. Kvadratik forma musbat aniqlanganmi?

6. 
    5x₁²  x₂²  5x₃²  4x₁x₂  8x₁x₃  4x₂ x₃
   

Yechish: Oldin koeffitsentlarni aniqlaymiz.

a₁₁  5, a₂₂ 1, a₃₃  5, a₁₂  a₂₁  2, a₃₁  a₁₃  4, a₂₃  a₃₂  2

Endi bosh minorlarini hisoblab chizamiz.

18

	5 2					5	2  4
5,				1,		212			1
	2	1				 4	 2 5

Bosh minorlarni hammasi musbat bo„lgani uchun kvadratik forma musbat aniqlangan.

9-masala. Kvadratik forma qoidalaridan foydalanib ikkinchi tartibli egri chiziq tenglamasini kanonik ko„rinishga keltiring va grafigini sxematik izohlang

5x²  2 3xy  3y²  6  0

Yechish: Harakteristik tenglamani tuzamiz va koeffitsiyentlarini aniqlaymiz.

	a11  5, a12 									 3
							3; a22
^a11	  a12				
			5			3			 2	 8 12,
^a12	a22  			3	3  

² 8 120

₁2,₂ 6

Endi maxsus vektorlarni koordinatlarini topamiz:

a   m  a n  0,		3m 				n  0,
					3
							 m1	1, n1	  3
	1111121	 	1		1
		
a12 m1  a22  1 m1  0.				m  n  0.
			3
			1		1

a   m  a n  0,											 m 				n  0,
														3		 m2	1, n2 	1				.
	11		2	2		12 2				 	2			2
										
	a m		 a		 		n		 0.	
																		3
		2		22		2		2				3m2  3n2  0.
	12									

U vaqtda maxsus vektorlar quyidagi ko„rinishda bo„ladi

1 1;

,



 2

U

1

1  3

U

3

^1;

1

.

12

U 2





U 2

 13



3 

3

Endi birlik vektorlarni tarkibiy qismlarini topamiz









1

3

3

1



,





;



1 

2

2

, 2

 

2

2

^.









Yangi sistemada chiziqni tenglamasini tuzamiz

19

2x'²  6y'²  6

25. 
    vaqtda kanonik ko„rinish quyidagicha bo„ladi
    

x'^2				y'^2
					1
		2		1^2
	3

20

Adabiyotlar

1. 
   Высшая математика для экономистов. Учебник. 2-е изд. / Под. редакция Н.Ш. Крамера М.: ЮНИТИ 2003. – 471с.
   

2. 
   Sharaxmetov Sh., Naimjonov B. Iqtisodchilar uchun matematika. Darslik.-T. 2007. -302 b.
   

3. 
   Общий курс высшей математики для экономистов. Учебник. / Под обшей редакции В.И. Ермакова. : ИНФРА – М, 2007. – 656с.
   

4. 
   Красс М.С., Чуринов В.П. Высшая математика для экономического бакалавриата. Учебник. М.: Дело, 2005. – 576с.
   

5. 
   А.Г.Курош. Олий алгебра курси. –Т., 1976.
   

6. 
   Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. –М., 1986.
   

21

Mundarija


1. Kirish 4
2. Kvadratik formaning ta‟rifi 5
3. Kvadratik formani kanonik ko„rinishga keltirish 6
4. Inesgiya qonuni 9


5. Musbat aniqlangan formalar 13
6. Kvadratik formalarga ta‟luqli misol va masalalar 15

7. 
   Adabiyotlar………………………………………………………21
   

22