Samarqand iqtisodiyot va servis instituti oliy matematika kafedrasi

§1. Kvadratik formaning ta’rifi.

Kvadratik forma deb, har bir hadi birorta hadini kvadratidan yoki bo„lmasa har xil hadlarini ko„paytmasi yig„indisiga aytiladi.

Kvadratik formalar berilishiga qarab ikki xil bo„ladi. Agar kvadratik formaning koeffitsiyentlari haqiqiy sonlardan iborat bo„lsa, bunday kvadratik formaga haqiqiy kvadratik forma deyiladi.

Agar kvadratik formaning koeffitsiyentlari kompleks sonlardan iborat bo„lsa, kompleks kvadratik forma deyiladi. Kvadratik formani quyidagi ko„rinishda yozish mumkin

6. 
   x₁, x₂ , , x_n  a₁₁x₁²  a₁₂x₁x₂
   

• 
  a_n2 x_n x₂   a_nn x_n²
  

  a_n1x_n x₁ 

14. 
    n
    
• 
   a_ij x_i x _j i1 j1
  

bu yerda a_ij lar x_i² ni koeffitsiyenti, a_i  a _j a_ij  a _ji  esa x_ij  x _j x _i i  j larni koeffitsiyenti.

Kvadratik formaning koeffitsentlaridan esa quyidagi kvadratik matritsani tuzish mumkin

		a aa		
A 		11 12	1n	
	a21a22 a2n			
				
	^an1^an2^ann			
Bu kvadratik matritsaning rangi esa	f	x1 , x2 , , xn		 kvadratik formaning rangi
deyiladi. Agar kvadratik formaning rangi		r  n	bo„lsa, u holda A matritsiaga

aynimagan matritsa deyiladi, f kvadratik formaga esa aynimagan kvadratik forma

deyiladi. Shuni ham aytish kerakki har qanday n  tartibli matritsa uchun quyidagi ko„rinishdagi kvadratik forma mos keladi

n	n
f x1 , x2 , , xn  aij xi x j		(1)
i1	j 1

Endi n  noma‟lumli X ustun matritsasini ko„raylik

_ ^x1 _
^{ x2 }
X_{ }
^ ^
_ x_{n }

Bu matritsa bitta ustun va n  ta satrdan iborat. Agar bu matritsaga transponerlash amalini bajarsak, quyidagi bitta satrga ega bo„lgan matritsa hosil bo„ladi:

24. 
    ' x₁ , x₂ , , x_n .
    

5

Shunday qilib (1) kvadratik formani quyidagi ko„rinishda yozish mumkin bo„ladi f x₁ , x₂ , , x_n  X ' AX


§2. Kvadratik formalarni kanonik ko‘rinishga keltirish

Kvadratik formani aynimagan chiziqli almashtirish bilan quyidagi

ko„rinishdagi kanonik ko„rinishga keltirish mumkin
	f y , y	, y	n	b y2  b y2			  b y^2
	12				1 1	2 2	n n
bu yerda	y1 , y2 , , yn yangi o„zgaruvchilar,						b1 , b2 , , bn	koeffitsiyentlarning
ayrimlari	0 ga teng bo„lishi mumkin.							soni f x1 , x2 , , xn 
Bu kvadratik formaning		0 dan			farqli	koeffitsiyentlar

kvadratik formaning rangiga teng bo„lishini isbotlash mumkin.

Faraz qilaylik kvadratik formaning matritsasi quyidagi ko„rinishga ega bo„lsin

	b1	0
	0	b2

^

	0	0


va talab qilaylikki bu matritsaning rangi 0 dan farqli elementga ega bo„lsin.

0	
0	
	
^
	
b	
n	

r ga teng bo„lib, bosh dioganalda r  n ta

Teorema. Har qanday kvadratik formani aynimagan chiziqli almashtirishlar yordamida kanonik formaga keltirish mumkin. Agar haqiqiy kvadratik forma o„rganiladigan bo„lsa, u vaqtda qo„llaniladigan chiziqli almashtirishlarning koeffitsenntlari ham haqiqiy hisoblanadi.

Isboti. Har qanday bir noma‟lumli kvadratik forma ax ² ko„rinishda bo„lganligi uchun kanonik ko„rinishga ega. Endi (n 1) -no‟malumli kvadratik forma uchun

teorema isbot qilingan deb, n no‟malumli kvadratik forma uchun isbot qilamiz.

Faraz qilaylik x₁ , x₂ , , x_n no‟malumli (1) kvadratik forma berilgan bo„lsin.

Kvadratik formadan aynimagan chiziqli almashtirish natijasida birorta no‟malumni kvadratini ajratish mumkin bo„lsin. U holda f kvadratik formani birorta hadini

kvadratini bilgan holda, qandaydir no‟malumning kvadratik forma yig„indisidan iborat bo„ladi.

Bu maqsadga erishish bo„ladi agarda kvadratik formaning matritsasidan bosh

dioganalida birorta o„zgaruvchini kvadrati noldan farqli koeffitsenti qatnashsa.
Faraz qilaylik a11  0	bo„lsin, u holda a11^^1 a11 x1  a12 x2   a1n xn	^2 kvadratik
forma bo„ladi, shu bilan f	ham kvadratik forma. Shuning uchun

6. 
   x₁, x₂ , , x_n  a₁₁^1 a₁₁x₁  a₁₂ x₂   a_1n x_n ²  gx₂ , , x_n 
   

ham kvadratik forma bo„ladi.

Bu yerda

6

6. 
   x₁, x₂ , , x_n  a₁₁^1a₁₁x₁  a₁₂x₂   a_1n x_n ²  gx₂ , x₃ , , x_n 
   

Agar quyidagilarni belgilab olsak
y1  a11 x1  a12 x2   a1n xn , yi  xi ,		i  2, 3, , n	(2)
bundan quyidagi kelib chiqadi.
f  a^^1	y^2  g.		(3)
11	1
Endi bu yerda g	y1 , y2 , , yn	o„zgaruvchilarga nisbatan kvadratik forma

bo„ladi. (2) forma (1) ya‟ni f x₁ , x₂ , , x_n  uchun kerakli forma bo„ladi, chunki u aynimagan chiziqli almashtirishlar natijasida hosil bo„ladi yoki teskaricha chiziqli almashtirishlar natijasida (2) hosil bo„ladi va uning aniqlovchisi a₁₁ aynimagan bo„ladi.
Agar a11  a12   a1n  0 bo„lsa, u holda qaytadan chiziqli almashtirishlar

kiritib no‟malumlarga nisbatan f kvadratik formalarni keltirib chiqarish mumkin

bo„ladi.

(1) kvadratik formaning koeffitsentlari aij  0 bo„lgani uchun buni isbot qilish

o„rinsizdir, ya‟ni a12  0 bo„lgani uchun 2a12 x1 x2 f kvadratik forma yig„indisiga

kiradi. Bu yig„indida x1 , x2 , , xn no‟malumlarning birortasi albatta qatnashadi.

Endi bizga berilgan bo„lsin

x1  z1  z2 , x2

 z  z2 , xi

 zi

, i

 3,..., n

(4)

ko„rinishidagi chiziqli almashtirish. Bu almashtirish aynimagan chiziqli almashtirish bo„ladi, chunki

110 0
110 0

0. 
   01 0 20.
   

..............

0. 
   0 0 1
   

Bu almashtirishning natijasida 2a12 x1 x2 forma quyidagi ko„rinishga o„tadi,

2a12 x1x2  2a12 z1  z2 z1  z2  2a12 z12  2a12 z22 , ya‟ni koeffitsiyentlar noldan farqli

bo„lgan

f

kvadratik forma hosil bo„ladi.

7

Qaysiki ikkita hadi birdaniga kvadratik qatnashadi va boshqa hadlari bilan qisqarmaydi, chunki z₁ , z₂ , z_n eng kamida bir marta qatnashadi.

3. 
   g kvadratik formada n dan kam no‟malumlar qatnashadi. Ayrim aynimagan almashtirishlar natijasida y₂ , y₃ , , y_n o„zgaruvchilar kanonik ko„rinishga keladi. Bu almashtirishlar n o„zgaruvchilar uchun bajarilib y₂ , y₃ , , y_n larga ta‟sir qilmaydi,
   

shu bilan (3) kanonik ko„rinishga ham ta‟sir qilmaydi. Shunday qilib ikki, uch almashtirishlar natijasida ularning ko„paytmalari o„zgaruvchilar almashtirishlar kvadratlarining yig„indisi bilan ayrim koeffitsiyentlari bilan qatnashadi.

Bu kvadratlarning soni kvadratik formaning rangi r ga teng.
Bu yerda shuni ham aytish kerakki f x₁ , x₂ , , x_n  kvadratik forma haqiqiy bo„lib

uning koeffitsiyentlari kanonik formada ham chiziqli almashtirishlar kiritgandan keyin haqiqiy bo„ladi.

Kvadratik formani kanonik ko„rinishga keltirish uchun uning harakteristik sonini va chiziqli almashtirib maxsus vektorlarini topish zarur.

Faraz qilaylikki R n o„lchovli fazoda berilgan nolga teng bo„lmagan vektor

x R ga chiziqli almashtirilgan Ax  x maxsus vektor deyiladi.   songa esa x maxsus vektorga mos bo„lgan A chiziqli almashtirishning harakteristik soni deyiladi.

Agar

^a12

 a21 bo„lganda

a x^2

 a x x

 a

x x

 a

x x  a

x^2

 a x^2  2a x x

 a

x^2

-gakvadratik

forma

11

1

12

1

2

21

1

2

21

1

2

22

2

11

1

12

1

2

22

2

deyiladi.

 

A matritsa bilan

Agar

chiziqli

almashtirishlar

A 1 2

bazisda

berilgan

bo„lsa: A 

a11a12



u vaqtda A chiziqli almashtirishni harakteristik soni









^a21^a22 

a11  

^a12

 0

^a21

a22  

tenglamaning 1 va 2 haqiqiy ildizlariga aytiladi.

Bu yerda

1

va

2

bir xil ishoraga ega bo„lsa, kvadratik formaga elleptik tip

deyiladi.

 1

va 2

Agar

har xil ishoraga ega bo„lsa, kvadratik formaga giperbolik tip

deyiladi. Agar

1

yoki

2

nolga

teng

bo„lsa,

kvadratik formaga parabolik tip

deyiladi. Maxsus vektorlarni tarkibiy qismlarini topish uchun ikkita sistemani yechamiz:

a₁₁  ₁ m₁ a₁₂ n₁  0,

^
_a  a   n  0

a₁₁  ₂ m₂  a₁₂ n₂  0,

^

bu yerda m₁ , m₂ , n₁ , n₂  maxsus vektorlarning koordinatalari.

8

 
Endi vektorlarni koordinatalarini yangi ₁ va 2 bazisga nisbatan topamiz, buning uchun maxsus vektorlarni uzunligini quyidagi formulalar bilan topamiz.





u1

 m^2

 n^2

;

u 2

 m^2  n^2

,

1

1

2

2

















bu yerda u1 ,u2  maxsus vektorlar bo„lib,

 

m1

;

n1

^;

 

m1

1









2







u1

u1





u 2







Shunday qilib ikkinchi tartibli chiziq tenglamasi hosil bo„ladi:

₁ x'₁² ₂ x'₂ ²  c,  _c^₂¹  ^_c2² 1


; ⁿ2  ga teng.
 


^u2 _

Shuni uchun ham bu yerda muhim teoremalarni e‟tiborga olish kerak.