Samarqand davlat universiteti fizika fakulteti

Qattiq jismlarning issiqlikdan kengayishi va uzayishi

Issiqlikdan kengayish. Issiqlik kengayishi deganda temperature o’zgarishi bilan jism o’lchamlari va shaklining o’zgarishi tushuniladi. Kiristallarni issiqlikdan kengayishini elementar nazaryasini qurush uchun nafaqat sifat jihatdan, balki miqdoriy jihatdan ham yaxshi natijalar beradigan ikki atomli modeldan foydalanish mumkin. Bunday modeldano’zaro ta’sir energiyasi Lennard- Jons assimmetrik potensiali ko’rinishida ifodalanadi.

U=-A/r^m+B/rⁿ

Bu yerda A va B –doimiy, r- o’zaro tasirlashuvchi atomlar orasidagi masofa. Barcha hollarda n>m va bu tengsizlik qancha kata bo’lsa assimmetriklik ham shuncha katta bo’ladi. Kristalpanjaradazarralarnigarmoniktebranishlarihaqidagitasavvurfaqattebranishamplitudasijudakichikbo’lgandaaniqbo’lib,uissiqlikdankengayishnitushuntirishgayetarlibo’lolmaydi.ChunkigarmonikyaqinlashishdaqattiqjismumumanissiqlikdankengayganholatitasdiqlanmagantemperaturaT=0atrofidaikkitaqo’shnitebranayotganatomlarnio’zmuvozanatholatidansiljishidagipotensial energiyasini darajali qatorko’rinishidaifodalashmumkin.



Bumodeldaangarmoniklikqatorininguchinchidarajasibilanhisobgaolinadi.Biro’lchamli masaladeb,r-r₀=xni belgilab;




0
Quyidagi taqribiymunosabatni olamiz;



Buyerdaf – kvazielastikkuchkoeffitsiyenti,g–angarmoniklikkoeffitsiyenti.

Issiqlikdanchiziqlikengayishkoeffitsiyenti(ICHKK)vaissiqlikdanhajmiykengayishkoeffitsiyenti–(IHKK)nihisoblashuchunma’lumbo’lgantermodinamikmunosabatdanfoydalanamiz.



BumunosabatniBoltsmanfunksiyasitaqsimotidanfoydalanibanchato’laroqolishmumkin.Undabirorfunksiyaqiymatinio’rtachalashtirish,ukattaliknimostermodinamikehtimolliginihisobgaolganholdabajarilishigaimkonbo’ladi.Modelningsoddaligivaqatoryaqinlashishlarmavjudligigaqaramay,ko’rilayotgannazariyaICHKKuchunto’gri tartibni beradi.

Qattiq jismlarning issiqlikdan kengayishini tushuntirish uchun qattiq jism zarralarining o’zaro tasir energiyasining ular orasidagi masofaga bog’liqligi quyidagi chizmaga murojat qilamiz

Agar zarralarmutloq harakatsiz bo’lsa, bu holda ularning kinetic energiyasi nolga teng bolar, ular orasidagi masofa r₀ ga teng bo’lib, potensial chuqurning tubida joylashgan bo’lardilar. Bu hol mutloq nol temperature bo’lishi mumkin edi.

Ammo haqiqatda zarralar o’z muvozanati vaziyati atroflarida tebranib turadilar, yani muayyan kinetic energiyaga ega bo’ladilar. Temperature ortishi bilan bu kinetic energiya ham ortib boradi. T temperaturada zarra E kinetic energiyaga ega bo’lib, chapga a₁ nuqtaga, o’ngga b₁ nuqtaga chetlashadi. Potensial egri chiziqning nosimmetrikligi tufayli tebranayotgan zarraning o’rtacha vaziyati endi r₀ gateng bo’lmay, undan o’ngga siljib r₁ qiymatga erishadi.

Temperaturani T₂ gacha oshirilsa, zarraning kinetic energiyasi E_k2 yuqori qiymatni oladi. Bunda zarra chapga a₂ nuqtagacha, ungga b₂ nuqtagacha chetlashadi, o’rtacha vaziyat esa r₂ qiymatga erishadi. Shunday qilib, temperature ortib borganida krisll panjarasi tugunlari oralig’i ortadi, yani issiqlikdan kengayish (r₂>r₁>r₀) yuz beradi.

Ma’lum l_t=l₀(1+άt) ifoda (bunda t-silsiy darajasidagi temperature, ά-o’rtacha uzayish koeffisienti, l_t, l₀- temperaturaning tva 0 qiymatlardagi sterjin uzunliklari) polikristall, yani xossalari deyarli yo’nalishlarga bog’liq bo’lmagan (izotrop) moddalar uchun to’g’ri bo’ladi. Monokristallar esa anizotroplik xossalariga ega, ularning chiziqiy uzayishi ά koeffisienti umuman aytganda tenzor ko’rinishidagi kattalikdir.

Agar monokristalldan shar yasalsa, keyin uni isitilsa yoki sovitilsa, u holda shar o’z shaklini yo’qotib, eng umumiy xolda uch o’qli ellipsoidga aylanadi, uning o’qlari kristolografik o’qlar bilan bog’liqdir. Uch kristolografik o’q bo’ylab issiqlikdan kengayish koeffisientlarini kristallning issiqlikdan kengayishi bosh koeffisientlari deyiladi va ά₁ά₂ά₃ orqali belgilanadi. Jadvalda bazi kristallar uchun malumot keltirilgan.

kristall	Sistema	T,K	ά1*10^6grad^-1	ά2*10^6grad^-1	ά3*10^6grad^-1
Gips rux kalsit	Monoklin Geksagonal Trigonal	313 60 150 300 313	1.6	42 -2 8 13 -5.6	29 55 65 64 25

Jadvaldan ko’rinadiki, temperature kamaygan sari ά₁ά₂ά₃ lar ham kamayadi, ayrim temperaturalarda bazida manfiy qiymatlar olishi mumkin, bosh koeffisientlar ayrim kristallarda bir biridan ancha farq qiladi.

Kristallarning issiqlikdan kengayishi (uzayishi) uning atomlari orasidagi o’zaro tasir kuchlarning angarmonik qismi bilan bog’liq bo’ladi. Buni quyidagi hisob tasdiqlaydi:

Faraz qilaylik, ikki atom (kristall panjarasidagi ko’shni atomlar) r₀ muvozanatli vaziyatidan uncha kata bo’lmagan r-r₀=x chetlanishlar bir-biri bilan

kuch bilan o’zaro tasirlashsin. U holda o’zaro tasir potensial energiyasi

bunda β- elastiklik (garmoniklik) koeffisienti, γx³ ni angarmonik had deyilib, γ-angarmoniklik koeffisienti.

Bolsman taqsimoti bo’yicha atomning muvozanatli vaziyatdan x masofaga chetlashish ehtimolligi

Bunda

deb hisoblab, ikkinchi ko’payuvchi

qatorga yoyilgan.

A doimiy normalash (miyorlash) shartidan topiladi:

qatnashganikkinchiintegralnolgatengbo’ladi, chunkiuningostidagifunksiyatoqfunksiyadir. Natijada

qiymatni hosil qilamiz.

Atomning muvozanat vaziyatdan o’rtacha chetlashi

bunda, birinchi integral o’z ostidagi funksiya toq bo’lganligi tufayli nolga teng bo’ladi.

Ikkinchi integral qiymati malum puasson integraliga keltiriladi.

Tarifga ko’ra, chiziqli issiqlikdan kengayish ά koeffisienti birlik uzunlik va 1⁰C ga hisoblangan uzayishdir:

bundagi a=r₀-panjara doimiysi. Yuqoridagidan issiqlikdan kengayish atamalarining angarmonik harakatiga bog’liqligi yaqqol ko’rinib turubdi.

Misol tariqasida bir valentli ionlar kristallini qaraylik. Bu holda ionlar o’zaro ta’sir kuchini

deb hisoblasa bo’ladi, bu ifodada- e²/r² diformasiyalanmaydigan turli ishorali qo’shni ionlar orasidagi Kulon qonuni bo’yicha tortishish kuchi, B/r¹⁰- shu ionlar orasidagi itarilish kuchi, u masofa o’zgarishiga qarab tez o’zgaradi. Muvozanatda

a- ionlarning muvozanatli oralig’i. bundan, B=e²a⁸ ekanligi kelib chiqadi.

Ammo, r=(a+x) bo’lganligi va x ning a ga nisbatan kichkinaligini hisobga olsak,

ά=52ak/64e²

munosabatni hosil qilamiz.

a=3*10^-8m, k=1.38*10^-23J*K^-1, e=1.6*10^-19kl qiymatlarni yuqoridagi ifodaga qo’ysak ά=1.5*10^-5grad^-1 natija kelib chiqadi, bu-tartib jihatdan to’g’ridir.

Bu mavzu yakunida shuni aytish kerakki, qattiq jismlarning issiqlik sig’imi bilan issiqlikdan kengayishi orasida bog’lanish bor:

Issiqlikdan kengayish koeffisienti ά ning atomlar (molyar) C_v issiqlik sig’imiga nisbati mazkur modda uchun temperaturaga bog’liq bo’lmagan doimiylikdir (Gryuneyzen qonuniu):

Haqiqatda bu ikki hodisa temperature ortganida atomlararo masofa ortishiga bog’langan.