S. I. Xudoyberdiyev iqtisodiy matematik usullar va

v)

g⁾

+

Manfiy burchaklardagi yukning kichigi 6, bu yukni manfiy burchaklardan ayirib, musbat burchaklarga qo’shib g) jadvalni olamiz. Bu o’zgarishni oxirgi yechim jadvaliga kirgizib quyidagi yechimga ega bo’lamiz:

Ta’minlovchilar	Zahiralar	Iste’molchilar
		Vi	V2	V3
Ai	a1=11	8 4	6	5 7
A2	1 2 a2	4 6	5 8	7
Talablar	25	bi=10	8 b	bs=7

S₃ - 8 • 4 + 5 • 7 + 6 • 4 + 5 • 8 - 32 + 35 + 24 + 40 - 131ko’m. Olingan yechim ham maxsusmasdir.

Yana, 1-qadamga qaytamiz.

a₁ + 0₁ - 8, «j - 0, 0₁ - 8,

«j + 0₃ - 5, 0₃ - 5, a₂ + 8 - 4,

«2 + 03 - 5, «2 - ^—4, - 4 + 02 - 5, ^a2 + ⁰2 ^{- 7, 0}2 ^{- 9}


12

S₁₂ - 6 - 9 - -3
C12 - «1 + 02 - 0 + 9 - 9 , C23 - «2 + £$3 - -4 + 5 - 1

^S23 ^C23 ^C23 ^{7 1 6} .

S₁₂ - -3 < 0 bo’lganligi uchun yechim optimal emas, uni yaxshilaymiz. 1-2 katakcha uchun yopiq siniq chiziq zanjirini tuzamiz (d jadval):


+

e)

8	6 4
0 ^4	5 4

d)

8 4	6
4 6	5 8

+


Manfiy burchaklardagi yuklarning kichigi 4 bo’lganligi uchun uni manfiy burchaklardan ayiramiz, musbat burchaklarga qo’shamiz va ye) jadvalni hosil qilib, bu o’zgarishni oldingi yechim jadvaliga kirgizib quyidagi rejaga ega bo’lamiz:

Ta’minlovchilar	Zahiralar	Iste’molchilar
		Vi	V2	V3
Ai	a1=11	8	6 4	5 7
A2	4 1 2 a2	4 10	5 4	7
Talablar	25	bi=10	8 b	bs=7

S₄ = 6 • 4 + 5 • 7 + 4 -10 + 5 • 4 = 119ko’m.




Oxirgi tuzilgan yechim uchun yana 1-qadamga qaytamiz:

«₁ ⁺ P₂ = 6, «₁ = 0, P₂ = 6,

« + P₃ = 5, 0 + P₃ = 5, P₃ = 5,

<

«2 ^ Pi = 4, «2 ^ 6 = 5, «2 = ^— 1,

«2 + ^P2 = ^{5 _ 1} + ^P2 = ^{5 P}2 = ⁶

c_n = «1 + P1 = 0 + 5 = 5, C23 = «2 + P3 = ^—1 + 5 = 4,

^S11 = ^C11 ^{_ C}11 = ^{8 _ 5} = ^{3 , S}23 = ^c23 ~ ^c23 = ^{7 _ 4} = ¹

S₁₁ = 3 > 0, S₂₃ = 3 > 0.

Olingan yechim optimaldir, chunki to’ldirilmagan katakchalar uchun hamma S_y. > 0 musbatdir. Shunday qilib, optimal rejada bazis o’zgaruvchilar

qiymati:

10. 
    ₁₂ = 4, x₁₃ = 7, x₂₁ = 10, x₂₂ = 4 bo’lib, umumiy transport harajati S=119 so’m bo’ladi.
    

1. 
   . Avtotransportning bo’sh (yuksiz) o’tadigan yo’lini minimallashtirish bilan unumdorlikni oshirish masalasi. Ma’lumki, muayyan yuklar oqimini tashishda transportlar, amalda bo’sh (yuksiz) yo’l yuradi. Transportning yuksiz yurishini kamaytirish albatta unumdorlikning oshishiga olib keladi. Bunday masalaning matematik modelini tuzamiz.
   

Bir smenada m ta A_i ta’minlovchilardan n ta B» iste’molchilarga

x_ij (i -1,2,...,m; j -1,2,...,n) bir jinsli (bitta va shu transport bilan tashiladigan yuk

bir xil ma’nosida) yuk tashilishi kerak bo’lsin. Yukni tashish jarayonida transport smena mobaynida B_j iste’molchidan mos ravishda b_j avtotonna yuksiz

yurishi hamda A_t (i -1,2,...,m) ta’minlovchilargacha yetkazilishi kerak bo’lgan

mos ravishda a_i avtotonna yuklar ma’lum bo’lsin. Har bir iste’molchidan, har

bir ta’minlovchigacha bo’lgan masofa l_]t ma’lum.

Avtomobil transporti bilan yuk tashishni shunday rejalashtirish kerakki, rejadagi hamma yuklar tashilib, yuksiz bosib o’tilgan jami yo’l yurish minimal bo’lsin.

l_]t bilan j - iste’molchiga yuk tushirilgandan keyin i- ta’minlovchigacha

yuksiz yuradigan transport miqdori avtotonna bo’lsin, bu holda jami yuksiz yurish miqdori

nm

^W-Z Z^l,y, (!)

j-1 i-1

funksiya bilan ifodalanadi. Masalaning qo’yilishidan

nm

Z ^b» ^-Z a

j-1 i-1

bo’ladi. Shunday qilib, bu masalada (1) chiziqli funksiyaning

m

Zy_ft ^-bj^{, j -}u.-ny_fi ^^0,

i-1

<

n

Zу» ^- a^, *^-1,2,...^,m

.»-1

cheklash shartlar sistemasini qanoatlantiruvchi minimal qiymatini topish kerak bo’ladi.

Avtotransportning yuksiz yurishini kamaytirish, rejadagi yukni tashishga ajratiladigan avtomobillar sonini kamaytirish bilan ularning unumdorligini oshirishga va sezilarli iqtisodiy samaraga olib keladi.

2. 
   Stanoklarda detallarga ishlov berish operatsiyalarini taqsimlash masalasi. Korxonada m ta turdagi stanok bo’lib, ularning maksimal ishlash vaqti imkoniyati mos ravishda a_i (i -1,2,...,m) soat bo’lsin. Har bir stanok n ta operatsiya bajarishi mumkin. Har bir operatsiyani bajarish jami vaqti mos ravishda b_} (j -1,2,...,n) soat bo’lsin. i - stanokning j - operatsiyani bajarish
   

unumdorligi С» ma’lum. Stanoklarning qaysisida qanday operatsiyalar

bajarilishi vaqtini shunday rejalashtiringki bunda ishlov berilgan detallar soni maksimal bo’lsin.

Masalaning matematik modelini tuzish uchun x. (i = 1,2,...,m; j = 1,2,...,n)

bilan i - stanok, j - operatsiyani bajarish vaqtini belgilaymiz. Bu holda i- stanokda ishlov berilgan detallar miqdori C_1Jx_1J bo’ladi. Hamma stanoklarda

ishlov berilgan detallarning jami miqdori

mn

^Z=zz j

i=1 j=1

funksiya bilan ifoda ifodalanadi. i-stanokning maksimal ishlash vaqti imkoniyati a_i bilan chegaralanganligi uchun, undan to’liq foydalanilsa

nn

Zx. = a_t, i = 1,2,...,m bo’lib, to’liq foydalanilmasa Zx. < a_t, i = 1,2,...,m bo’ladi.

j=1 j=1

Ikkinchi tomondan j - operatsiyaga ajratilgan vaqt b_} soat bo’lganligi

m

uchun Zx_ij = b_}, j = 1,2,...,n bo’ladi. Masala shartlaridan ma’lumki, hamma

i=1

stanoklarning umumiy ishlash vaqti, stanoklarning maksimal ishlash vaqt imkoniyati yig’indisiga va hamma operatsiyalarni bajarishi zarur bo’lgan vaqtlar yig’indisiga teng, ya’ni

m n m m n n

ZZ^xj =Za ^va ZZ^х. =Z^b.

i=1 j=1 i=1 i=1 j=1 j=1

tenglik bajariladi. Oxirgi tengliklardan

mm

Z a =Z ^b.

i=1 j=1

kelib chiqadi.

mn

Shunday qilib, z = ZZC.x. chiziqli funksiyaning

i=1 j=1

n

Zx = a , i = 1,2,...,m, x > 0,

ij i ij

j=1

<

m

Z ^xj =^b. ^{, j}=ⁿ

. i=1

cheklash shartlari sistemasini qanoatlantiruvchi maksimal qiymatini topish kerak bo’ladi. Bunday masalani potensiallar usulidan foydalanib yechish mumkin.

3. 
   Parametrli chiziqli dasturlash masalalari.
   

Ma’lumki, chiziqli dasturlashning umumiy masalalari o’zgarmas miqdorlar: С., a. koeffitsiyentlarni, ozod hadlar b_i (i = 1,2,...,m, j = 1,2,...,n) larni

o’z ichiga oladi. Lekin, amalda bu miqdorlar aniqlanishidan o’zgaruvchi bo’lib, biror intervalda o’zgarishi mumkin. Iqtisodiy masalaning optimal yechimi, bu sonlarning biror mumkin bo’lgan intervalda o’zgarishida optimalliligicha qolishini tekshirish zarur bo’ladi. Shuning uchun, chiziqli dasturlash masalasi koeffitsiyentlari va ozod hadlarining o’zgarishi optimal yechimga qanday ta’sir etishini tekshirish masalasi yuzaga keladi. Bunday tekshirishlar parametrli chiziqli dasturlash masalasiga olib keladi. Parametrli dasturlash har xil iqtisodiy jarayonlar, ishlab chiqarishni rejalashtirish, optimal boshqarishni tekshirish natijasida hosil bo’ladi.

1. 
   Chiziqli funksiya Z - Z C_jx_j
   

j-i

C_} koeffitsiyentlari biror, masalan, [c» - C', C» + C' ] intervalda o’zgarsin.

Tekshirishlarning qulayligi uchun chiziqli funksiya koeffitsiyentlarini

C (^A) - ^C; + ^ac ;

ifoda bilan almashtiramiz, bu yerda C ^{, c}; o’ zgarmaslar, A - biror chegarada

o’zgaruvchi parametr bo’lsin.

Endi chiziqli dasturlash masalasini quyidagicha ifodalash mumkin:

n

Z^aj^x» ^-bi^{, 1 - 1,2,}.^{,m (1)}

»-i

^xj > ° ⁽j ^-1_>²,-,^{n) (2)} chiziqli cheklash shartlarini qanoatlantiruvchi shunday X - (x₁₃ x₂,..., x_n) vektorni topish kerakki, A ning 8 < A < p intervaldagi har bir qiymati uchun