S. I. Xudoyberdiyev iqtisodiy matematik usullar va

Х

Xk X_k+1

a

O Х1 Х2

4-chizma

0 < x < a intervalda r +1 ta x_k nuqtalarni shunday qilib olamizki, x₀ - 0, x₁ < x₂ <... < x_r - a o’rinli bo’lsin. So’ngra, har bir x_k va h_k - h(x_k) ni topamiz hamda (x_k, h_k )va (x_k+₁, h_k+₁), (k - 0,1, ..., r -1) nuqtalarni kesmalar bilan tutashtiramiz. Natijada siniq chiziqli h(~) approksimatsiya (yaqinlashish) hosil bo’ladi. Bu funksiya h(x) funksiyaning [0, a] kesmadagi siniq chiziqli approksimatsiyasi bo’ladi. Approksimatsiyaning aniqligi x_k nuqtalar zichligini tanlashga bog’liq. Bu nuqtalar qancha zich joylashgan bo’lsa, h(x) funksiya h(x) funksiyani shuncha aniqroq approksimatsiya qiladi.

Endi hosil bo’lgan h(~) funksiyaning analitik ifodasini aniqlaymiz. Agar x e[x_k, x_k+₁] bo’lsa, h(x) funksiya quyidagi ko’rinishdagi h(x) funksiya orqali approksimatsiya qilinadi:

(4)


(5)
Bundan tashqari x nuqta x_k va x_k+1 nuqtalarni tutashtiruvchi kesmada yotganligi sababli uni shu nuqtalarning qavariq kombinatsiyasi orqali ifodalash mumkin, ya’ni:


(6)
x - Xx_k+₁ + (1 - X)x_k, 0 < X < 1 Bundan

^{x - x}k ^{- X(x}k+1 ^{- x}k⁾

va

^h(~^{) - h}k + ^X(hk+1 ^{- h}k⁾

ifodaga ega bo’lamiz. (7) da X - X_k+₁, 1 - X - X_k deb qabul qilsak,

^h(~^{) - X}k+1^hk+1 + ^Xk^hk

ifoda hosil bo’ladi. Shunday qilib, aytish mumkinki, ixtiyoriy tayinlangan

10. 
    e[x_k, x_k+_J] nuqta uchun A_k va A_k+_J larning birdan-bir qiymati mavjud bo’lib, ular uchun quyidagi munosabatlar o’rinli bo’ladi:
    

^x = ^Ak^xk + ^Ak+j ^xk+j

^h(x) = ^Ak+j^hk+j + ^Ak^hk ⁽⁸⁾

k +J k+J k k ^Ak + ^Ak+J = ^j, ^Ak , ^Ak+J - ⁰.

Birdan ortiq bo’lmagan A_k yoki ikkita qo’shni A_k va A_k+_J lar 0 dan farqli bo’lsin deb qabul qilsak, ixtiyoriy x e[0, a] nuqtani quyidagi ko’rinishda ifodalash mumkin:

^x=Z ^Ak^xk^, Z ^Ak =^{1, A}k^{- 0, k}=^{0,r (9)}

k=0 k=0

Bu holda siniq chiziqli h(x) funksiyaning analitik ifodasi quyidagicha bo’ladi:

^h(x)=Z^AA^{, (10)}

k=0

bu yerda х e [0, а] va

■=z ^Ak^xk^, z ^Ak=^{j A}k^{- o, k}=^o,r.

х :

k=0 k=0

Endi (1)-(3) masalaning siniq chiziqli approksimatsiyasini hosil qilish uchun masaladagi х_} no’malumlarning har biri [0, а_} ] intervalga tegishli bo’lgan

qiymatlarini qabul qiladi deb faraz qilamiz. [0, а_} ] oraliqni х_{0 j} , х_{( j} ,..., х_>:1 nuqtalar

yordamida r_} ta kesmalarga ajratamizki, ular uchun

^x0j = ^{0, X}Jj < ^X2j < ... < ^Xj = ^aj

munosabat o’rinli bo’lsin.

fj (x_t) va g_ij (x_}) funksiyalarning bu nuqtalardagi qiymatini topamiz:

^fj ^{( X}j ⁾ = Z ^Akj^fkj =^fj ^(Xkj ^{), (11)}

k=0 ^rj

gij^(xj ⁾=Z ^Ajgk^, gij =gj^(xkj ^ ⁽¹²⁾

k=0

=^ ^Akj^xkj^{, (13)}

x

j

k=0

k=0

11. 
    -(14) munosabatlarga asosan berilgan masalani quyidagi taqribiy masala bilan almashtiriladi:
    

ZX- ^(Xj ⁾ = it Z ^Akjgikj {-^, =^{, -})^Ъг ^{, i} = ^{1, m (15)}

j=J j=J k=0

Z^Akj =^{1, A}k^-^{- 0, k} =^0,rj^{, j}=^{1,n (16)}

k=0

z=^f(X)=Z / ^(xj⁾⁼ZZ^Ak'/k ^ ^max(^min). (¹⁷)

j=1 j=1 k=0

Bu masalada A_kj larning shunday qiymatlarini topish kerakki, ular (15)-

(16) shartlarni qanoatlantirib, (17) maqsadli funksiya maksimum (minimum) qiymatga ega bo’lsin. Masalaning taqribiy yechimini topishda simpleks usulni qo’llash mumkin. (15)-(17) masalani simpleks usul bilan yechish jarayonida optimallik mezoni (kriteriyasi)

A j = C₆B ¹ Aj - Cj < 0, k = j = Щ (18)

bilan tekshirib boriladi, bu yerda A_kj (15)-(17) masalalarning chegaraviy shartlarini ifodalovchi vektor, V bazis matritsa va ^Ckj = ^fkj . (15)-(17) masalaning

tayanch rejasi (18) shartni qanoatlantirmasa, bu plan masalaning optimal yechimi bo’ladi.

4. 
   Iqtisodiyotga oid masalalarni chiziqli bo’lmagan dasturlash usullari bilan yechish.
   

Masala. Bir xildagi mahsulot K_x,K₂,...,K_n korxonalarda ishlab chiqarilishi mumkin bo’lsin. j - korxonaning oladigan foydasi

^/_]^(xj⁾ = ^(a_; ^-kj^xj⁾x ⁽¹⁾

chiziqli bo’lmagan funksiya bilan ifodalansin, bunda x_} - ishlab chiqarilgan mahsulot birliklardagi miqdori, a_} > 0, k_} > 0 o’zgarmas koeffitsiyentlar.

K_} - korxonaning ishlab chiqarish quvvati M_j ham ma’lum bo’lsin.

N - miqdor birligidagi mahsulotga bo’lgan buyurtmani korxonalar o’rtasida shunday taqsimlash kerakki, mahsulot ishlab chiqarishdan eng katta foyda olinadigan bo’lsin.

Yechish. Masalaning matematik modeli quyidagicha bo’ladi:

O’zbekiston Respublikasi Oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi 1

Ma’ruzalar matni 1

1-mavzu: Iqtisodiyotni boshqarishda iqtisodiy-matematik modellar va usullarni qo’llash samaradorligi. Fanning maqsadi, vazifalari va boshqa fanlar bilan aloqasi. 4

3-mavzu.Chiziqli dasturlash masalasini echishning simpleks usuli. 20

4-mavzu. Cheklangan resurslarni samarali taqsimlash masalasini yechishda ikkilanganlik nazariyasi. 34

5-mavzu. Xomashyo va materiallardan optimal foydalanish modellari. Optimal qirqish masalasi. 44

F = ZZC. *Xj ^ min 45

Z L * Xj < A 45

F = V V P * XiJ ^ min 46

3)X. > 0. 48

Z Pv xi = Bj (j =1 n); 50

Z xi < A 50

6-mavzu. Iqtisodiy jarayonlarda optimallashtirish usullarini qo’llash. Transport masalasi Reja: 51

Z a *Z bj 52

Z a >Z bj. 53

Z b.-Z ai 53

Z Xj £ Bj, (j = & } 83

^ т 111

cheklash shartlarini qanoatlantiruvchi maksimum qiymatini toping.

Masalani xususiylashtiramiz. n = 5, N = 1000bo’lsin. a_}, k_} va M_} para-

metrlarning qiymati ushbu jadvalda berilgan:

Parametrlar	Korxonalar
	Kj	K2	K3	K4	K
aj	20	18	22	19	21

^kj	0,020	0,015	0,022	0,018	0,016
Mj	250	260	240	270	200

2. 
   funksiya har bir qo’shiluvchisidan x_} bo’yicha olingan hosila
   

[a _j — k_jx_j)x_j J = —2kj < 0

bo’lib, uning botiq funksiya ekanligi kelib chiqadi.

Birinchi bosqichda (2), (3) masalaning yechimini topamiz: Bu masala uchun Lagranj funksiyasi

nn


x
^F(x ^A)=Z ^(aj^{— k}j ^xj^)xj + ^{A N—}Z


j=J
v j=^J У

bo’lib, xususiy hosilalarni topib, ularni 0 ga tenglashtirib, ushbuni hosil qilamiz:

'^aj ^{— 2k}j^xj = ^A,

n

Z Xj = ^N

J=J

xususiy holda

O’zbekiston Respublikasi Oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi 1

Ma’ruzalar matni 1

1-mavzu: Iqtisodiyotni boshqarishda iqtisodiy-matematik modellar va usullarni qo’llash samaradorligi. Fanning maqsadi, vazifalari va boshqa fanlar bilan aloqasi. 4

3-mavzu.Chiziqli dasturlash masalasini echishning simpleks usuli. 20

4-mavzu. Cheklangan resurslarni samarali taqsimlash masalasini yechishda ikkilanganlik nazariyasi. 34

5-mavzu. Xomashyo va materiallardan optimal foydalanish modellari. Optimal qirqish masalasi. 44

F = ZZC. *Xj ^ min 45

Z L * Xj < A 45

F = V V P * XiJ ^ min 46

3)X. > 0. 48

Z Pv xi = Bj (j =1 n); 50

Z xi < A 50

6-mavzu. Iqtisodiy jarayonlarda optimallashtirish usullarini qo’llash. Transport masalasi Reja: 51

Z a *Z bj 52

Z a >Z bj. 53

Z b.-Z ai 53

Z Xj £ Bj, (j = & } 83

^ т 112

Z— — aZ = 2 N

jJ ^kj jJ ^kj

hosil bo’ladi. Oxirgi tenglikdan Lagranj ko’paytuvchisini topsak:

5 a

Z— — 2 N _k

A = ^j=^J 5^j , (7)

^ т

j=^{J k}j

bo’ladi. A ning topilgan qiymatini (6) tenglikka qo’yib, x_j larning qiymatini topamiz.

Sonli qiymatlarni (7) va (6) formulalarga qo’yib, hisoblasak, A = 12,734; x₍ = 181,6; x₂ = 175,5; x₃ = 210,6; x₄ = 174,1; x₅ = 258,3 bo’ladi. Bunda