Russian Mathematics Education

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

Shokhor-Trotsky, the founder of the “practical exercise” method,

identified a threefold objective to mathematical teaching: educational,

formative, and practical. He believed that the educational component is

attained when the student has acquired a set of examined mathematical

notions, concepts, ideas, and skills. The aims of education are attainable

only when students learn willingly and gladly. They must derive both

physical pleasure (from producing successful diagrams, calculations,

and models) and intellectual pleasure (from completing work, and

overcoming difficulties). These ideas are in accord with contemporary

views on the psychology of education.

The formative component, according to Shokhor-Trotsky, is

attained through the cultivation of “intellectual–cultural” habits. Stu-

dents must grasp the notion of functional relationships within the

limits of their knowledge; must develop powers of observation and

a critical attitude toward the veracity of observation; must acquire

a habit for precise verbal formulation of questions, generalizations,

logical arguments, and so on. The teacher must cultivate the students’

interest not only in mathematical knowledge but also in its application

in reality (both in school and in everyday life).

Shokhor-Trotsky defined the practical objective as a degree of

mastery of mathematical concepts and skills such as befits any cultured

person. In his opinion, this so-called “baggage” was of no less

importance than the mental skills fostered by elementary mathematical

education (Shokhor-Trotsky, 1886).

F. A. Ern (1912) had devoted one of three chapters of his Notes on

the Methodology for Teaching Arithmetic (pp. 55–58) to the objectives

of studying arithmetic: the material and the formal. Material objectives,

in his opinion, are attained when students receive information that is

valuable in and of itself. Thus, the study of arithmetic “comes down to

the study of arithmetical operations, their substance and execution.”

In order to attain the material objective, one must “teach the children

to arrive at the result correctly, promptly and, if possible, elegantly.”

First, the pupils must learn oral operations with numbers up to 100,

then move on to written operations, after which the two must proceed

in parallel, neither one supplanting the other. Here, one needs not

only problems but also special “number exercises.” In order to perform

arithmetical operations elegantly, the student must be able “to choose

---

March 9, 2011

15:1

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch02

The History and the Present State

49

the simplest of available operations, in this case, the one that leads

quickest to the result” (Ern, 1912, p. 77). Ern paid special attention

to so-called simplified techniques of calculation. He believed that once

students become familiar with the basic properties of arithmetical

operations and the theorems governing the changes of the results of

operations, they must turn to exercises that apply this knowledge to

actual calculations, such as:

• 125 × 36 = 125 × (4 × 9) = (125 × 4) × 9 = 500 × 9 = 4500;

• 96 ÷ 24 = 96 ÷ (3 × 8) = (96 ÷ 3) ÷ 8 = 32 ÷ 8 = 4;

• 245 + 197 = 242 + 200 = 442; 245 − 197 = 248 − 200 = 48.

According to Ern, the study of mathematics aims at a balanced

and unified cultivation of the students’ skills, intelligence, emotional

depth, and willpower. The most important of these is intellectual

development: formulation of clear and precise notions and concepts,

and acquisition of logical thinking skills. Ern believed that students

must arrive at an understanding of number and arithmetical operations,

and their properties by way of generalization. The habit of thinking

logically and testing the veracity of an assertion by reasoning about

it is important in and of itself. It is moreover important to cultivate

in students the habit of working independently through solving and

especially composition of arithmetical problems. He saw this type of

work as the fundamental form of creative activity that rouses interest

and entices students toward independence.

The foregoing views of progressive Russian educators on elemen-

tary mathematical education — as interesting as they were modern —

did not, however, gain wide acceptance. In the 1901 Courier of Experi-

mental Physics and Elementary Mathematics, V. V. Lermantov made the

claim that the school has a duty to instruct its students in various types

of knowledge that are in demand and have direct application in “the

everyday struggle.” The journal’s editor, V. F. Kagan, countered that

Lermantov’s views hold true for specialized schools only, and that “any

nation that permits specialized education to supplant general education

is in great peril.” Among the diverse skills to be learned, Kagan singled

out the most important and the most difficult of all — the skill of

thinking. That is the sole objective of general education, to be attained

by cultivating in students a coherent worldview and humane attitudes.

---

March 9, 2011

15:1

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch02

50

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

The purpose of mathematical education was debated at the two

National Congresses of Teachers of Mathematics in Saint Petersburg

(winter 1911–1912) and in Moscow (winter 1913–1914). In his

presentation, A. G. Pichugin asserted that despite its formal and logical

significance, the study of mathematics must be practically useful. “This

usefulness is to be understood not in the sense of rank utilitarianism

that shuns any thought that cannot be exchanged for ready money, but

that pure utility that speaks of the broad horizons of a comprehensive

education” (Pichugin, 1913, p. 160). Professor A. K. Vlasov noted

that “the objective of mathematical education … is to foster in the

pupil a capacity for mathematical reasoning … that addresses itself

as much to number and calculation, as to special conceptualization

and organization … .” (Vlasov, 1915, p. 25). Participants stressed

the importance of pictorial geometry, functional propedeutics, and

reasoned calculations for the elementary school curriculum. The

initiatives of these conventions were cut short by the First World War.