Russian Mathematics Education

6.4

New Generation Textbooks

The textbooks discussed above first appeared in the 1970s or 1980s.

Below, we briefly describe certain textbooks that appeared and became

popular significantly later.

6.4.1

The textbook of A. G. Mordkovich and

I. M. Smirnova

The textbooks of Mordkovich and Smirnova (2009a, 2009b) conclude

the series of textbooks by Mordkovich for grades 7–9. Their textbook

is in many respects intended for independent work. “Each paragraph

contains a detailed and comprehensive presentation of theoretical

material, addressed directly to students” (Mordkovich and Smirnova,

2009a; p. 3). Each paragraph is accompanied by a large number of

exercises; thus, there is enough material for both classroom work and

work at home.

The textbook’s central concept is the mathematical model. For

example, the derivative is introduced as follows. After examining two

problems that are standard in this situation — one on instantaneous

velocity and one on tangents — the authors state:

Two different problems have led us to the same mathematical

model — the limit of the ratio between the change in a function

and the change in its argument, on the condition that the change in

the argument approach zero. . . . This mathematical model, then, is

what should be studied. That is:

(a) It should be given a formal definition and labeled with a new

term;

(b) New notation should be introduced for this model;

(c) The properties of this new model should be investigated.

(Mordkovich and Smirnova, 2009a; p. 232)

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch05

224

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

The distinctive feature of the presentation of the topic “Derivatives”

in this textbook consists in the fact that it begins with the presentation

of the limit of a sequence. This concept is defined in the language

of “neighborhoods” and explained in a sufficiently detailed and clear

fashion. The limit of a function is first introduced at infinity, and only

afterward at a point; in neither case is a formal definition given. In

general, there are relatively few proofs here. For example, the paragraph

on the “Rules of Differentiation” is structured as follows. First, the

textbook formulates four theorems concerning the derivative of a sum,

the derivative of the product of a function and a number, the derivative

of a product, and the derivative of a quotient, and provides examples.

The authors then write:

First, we will derive the first two rules of differentiation — this is

relatively easy. Then we will examine a number of examples of the

ways in which the rules and formulas for differentiating are used, so

you can get used to them. At the very end of the paragraph, we will

give a proof of the third rule of differentiation — for those who are

interested. (Mordkovich and Smirnova, 2009a, p. 244)

The conditions for the monotonicity of a function are illustrated

using a physical interpretation; the theorem concerning necessary

conditions for the existence of an extremum, usually referred to in

Russian textbooks as Fermat’s theorem, is not proven (nor is it referred

to by the name of its author). In general, the textbook contains

practically no historical information. In this way, it is oriented more

toward practice than theory. Possibly, this accords with the idea of

teaching mathematics on the basic level.

6.4.2

The textbook of G. K. Muravin

and O. V. Muravina

In addressing students in the foreword to this textbook, the authors

emphasize: “To know mathematics means to be able to solve problems.

It is problems that you will have to solve on the Uniform State Exam”

(Muravin and Muravina, 2010b, p. 5). Despite this declaration, the

textbook devotes considerable attention to theory and to working with

concepts and theorems. The concept of continuity is introduced at first

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch05

Elements of Analysis in Russian Schools

225

on an intuitive level: the graph of a continuous function can be drawn

without lifting pencil from paper. Using this visual image of continuity,

the authors next introduce the interval method for solving inequalities.

In 11th grade, the definitions of continuity and the limit are introduced

in the language of “ε–δ.” Quantifiers are used in the formulations

of definitions. Problems that involve computing simple limits are

solved. Theorems on the limits of sums, products, and quotients are

formulated, but not proven; it is pointed out, however, that they “may

be proven, and even without much difficulty” (Muravin and Muravina,

2010b, p. 25). The textbook examines vertical, horizontal, and oblique

asymptotes to the graphs of functions.

In connection with the introduction of derivatives, the concept of

the tangent is raised and discussed first, followed by derivatives and

differentials. The derivatives of elementary functions are introduced

in the same way as they are in Kolmogorov’s textbook: in connection

with geometric considerations, the number e is introduced as the base

of the exponential function e

x

, whose derivative at zero is equal to 1;

then the derivatives of exponential, logarithmic, and power functions

are introduced. In the presentation of integral calculus, the authors first

examine the area of a curvilinear trapezoid, then introduce the integral

as the limit of integral sums, and then demonstrate that the derivative

of a variable area is equal to the function f(x); only after this do they

bring in the concept of the antiderivative.

On the whole, the textbook combines a sufficiently high theoretical

level with clear explanations, a well-phrased presentation, and a

large number of historical discussions. At the same time, it contains

many problems and devotes considerable attention to methods for

solving them.