Russian Mathematics Education

6.1

Andrey Kolmogorov’s Textbook

We first refer to the textbook by Kolmogorov et al. (1990), which was

subsequently reissued without any changes that we would consider

fundamental, and which was itself a version of a textbook by the

same authors, Kolmogorov et al. (1977), revised in accordance with

curriculum changes. The textbook discussed here has preserved to the

greatest extent the ideas on which Kolmogorov’s reforms were based.

The distinctive feature of Kolmogorov’s textbooks, in our view, is that

they devote greater attention to explaining concepts than to developing

students’ command of techniques.

The chapter on “Derivatives and Their Applications” opens with a

discussion on the concept of the “change of a function.” The notations

x and f = y are introduced; it is emphasized that for a fixed

value of x, the change f is a function of x. Examples are given of

finding f as a function of x. Students practice solving problems

of this type. Lastly, the textbook examines the geometric and physical

meanings of the ratio

f

x

as the slope of a secant and average velocity.

In this way, the concept of change, which in other approaches is simply

a tool used to define the derivative, acquires here an independent

meaning.

The introduction of the derivative — the central concept of

calculus — is preceded by a discussion on the concept of the tangent.

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March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch05

Elements of Analysis in Russian Schools

215

It is introduced visually: the tangent is said to be a straight line with

which the graph of a function “practically converges.” It is then argued

that the slope of the tangent is a number to which the slope of the secant

k =

y

x

comes infinitesimally close. The discussion concludes with a

definition of the derivative:

The derivative of a function f at a point x

0

is defined as a number

which the difference quotient

f

x

=

f(x

0

+x)−f(x

0

)

x

approaches when

x approaches zero. (Kolmogorov et al., 1990, p. 103)

Note that neither the word “limit” nor the sign for the limit is used.

In the next paragraph, “The Concept of the Continuity of a Function

and the Passage to the Limit,” the definition of the limit does effectively

appear: “the function f approaches the number L for x that approaches

x

0

if the difference f(x) − L is infinitesimally small, i.e. |f(x) − L|

becomes less than any fixed h > 0 as |x| decreases” (Kolmogorov

et al., 1990, p. 106). The passage to the limit is used in two basic

cases: in finding the derivative and in investigating the continuity of

a function. This concept is also used to prove the continuity of the

function f(x) =

√

x from the definition.

The authors go on to provide rules for finding derivatives; using

the formula for the derivatives of products and quotients, the formula

(x

n

)



= nx