Russian Mathematics Education

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

as the one used with the linear function: let us construct a table and

connect the points; the word “function” is not used — the authors talk

about relations between coordinates). This does not mean, however,

that the teacher must teach the students to construct the graphs

of quadratic functions; the point, rather, is that the students must

understand from the beginning that graphs are not necessarily straight

lines. We should note, in connection with this, that the textbooks by

Dorofeev, Suvorova et al. (2005) devote considerable attention to the

graphs that surround us, which may be curves of extreme intricacy. The

students are asked to use a temperature graph, for example, to indicate

the time when the temperature was equal to various given magnitudes,

when it was highest, and when it was increasing or decreasing.

The concept of a function is introduced in the textbooks of this

series in eighth grade (Dorofeev, Suvorova et al., 2005). Here, too,

variable values are mentioned, the domain of a function is defined, the

graph of a function is discussed, and the vertical line test is effectively

presented. Students are introduced to linear functions (now with

the use of the term “function”) and functions of the form y =

k

x

.

In discussing graphs, the authors mention increasing and decreasing

functions, taking the former to mean that the graph “in moving from

the left to the right always goes up.” Consequently, the students

are given problems that require them to indicate, based on a graph,

whether one or another function is increasing or decreasing.

In the textbook of Alimov et al., quadratic functions are studied in

eighth grade. By this time, quadratic equations and systems of quadratic

equations, problems that can be reduced to quadratic equations, and

the like have already been studied in detail by the students. Now,

the same kinds of problems are solved in connection with quadratic

functions as were solved earlier in connection with linear functions:

find the value of the function for a given x and the values of x for

which the function assumes a given value. The second of these kinds

of problems naturally requires students to solve a quadratic equation;

however, this textbook makes no general statement about the fact that

solving such a problem is the same as solving an equation.

A central position in this chapter of this textbook is occupied by

the construction of graphs of quadratic functions. The graph of the

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March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch05

Elements of Analysis in Russian Schools

205

function y = x

2

is constructed “point by point”; students are then

asked to connect the points with a “smooth” curve and told that the

resulting curve is called a “parabola.” The elementary properties of

the function y = x

2

are enumerated, including its nonnegativity, the

symmetry of its graph with respect to the coordinate axis, and the

fact that it is increasing for x ≥ 0 and decreasing for x ≤ 0. Then

the function y = ax

2

is examined. The textbook points out that

its graph can be obtained from the graph of y = x

2

by means of

expansion or contraction, and for negative a also by means of reflection.

The construction of the graph of a quadratic function in the general

case is connected with the construction of the graph of the function