Российский экономический

2.3. Модель задачи на минимум затрат 
В качестве критерия оптимальности в целевой функции можно использо-
вать затраты, тогда введем новое обозначение: 
с
j — 
себестоимость единицы 
j
-й 
продукции. 
Запишем модель с этим критерием оптимальности на весь объем выпуска: 
∑
𝑐
𝑗
𝑥
𝑗
→ min
𝑛
𝑗=1
; 
∑
𝑎
𝑖𝑗
𝑥
𝑗
≤ 𝑏
𝑖
𝑛
𝑗=1
, (
i 
= 1, 2,...
,m
); 
x
j 

0, (
j 
= 1, 2,...
,n
). 
Поиск оптимального решения в этом случае очень прост — им является 
тривиальное (все неизвестные равны нулю) решение. Действительно, при 
x
j 
= 0, 
(
j 
=1, 2,...,
n
) все ограничения выполняются, т.е. данное решение допустимо. А 
из всех допустимых решений оно дает наименьшее значение критерия опти-
мальности, т.е. затраты в данном случае равны нулю (очевидно, что отрица-
тельными они быть не могут). 
Такое математически правильное решение с экономической точки зрения 
абсурдно, ибо представляет собой план «максимальной экономии ресурсов», в 
соответствии с которым ничего не производится, и все ресурсы остаются цели-
ком неиспользованными. 
Ничего не изменит и запись модели, усложненная за счет введения раз-
личных технологических способов производства одноименной продукции, где 
c
j
s
 — 
себестоимость единицы продукции 
j-
го вида, произведенной по 
s-
му спо-
собу. 
20

---

Чтобы значение критерия оптимальности не скатывалось до нуля, необ-
ходимо ограничить снизу (т.е. ввести ограничение вида 

) решение. Такими 
условиями, как мы уже знаем, являются условия по выполнению директивно 
заданного плана производства.
Экономическая деятельность как один из видов человеческой деятельно-
сти целенаправленна и предполагает достижение определенных результатов 
производства, что, в свою очередь, связано с осуществлением затрат. Одной из 
основных задач экономики (как науки, так и практики) является сопоставление 
затрат и результатов. Как правило, существуют несколько вариантов получе-
ния, заранее заданного (планируемого, желаемого, предполагаемого), фиксиро-
ванного результата. Также существуют несколько вариантов использования из-
вестного (имеющегося), фиксированного количества ресурсов. Правильный 
выбор наилучшего варианта из нескольких допустимых возможен при следую-
щих постановках задачи: 
1)
максимизации результата (эффекта) при фиксированном уровне затрат 
(ресурсов); 
2)
минимизации затрат при фиксированном уровне результатов. 
Сам отбор наилучшего варианта решения (плана производства) по мини-
муму затрат возможен вследствие эквивалентности результатов по всем вари-
антам. В случае же различной величины результатов вариант с меньшими за-
тратами может быть и не лучшим (просто с меньшими затратами мы достигаем 
и меньшего результата). Именно это имело место выше. «Лучшее», нулевое 
решение давало наименьший (выпуск равен нулю) результат. 
Рассмотрим модель задачи на минимум затрат при фиксированных пла-
нах производства, предположив, что каждый вид продукции производится 
лишь одним технологическим способом:

∑
𝑐
𝑗
𝑥
𝑗
→ min
𝑛
𝑗=1
; 
∑
𝑎
𝑖𝑗
𝑥
𝑗
≤ 𝑏
𝑖
𝑛
𝑗=1
, (
i 
= 1, 2,...,
m
); 
x
j
 

 b
j
 

0, (
j 
= 1, 2,...,
n
). 
Любой сверхплановый выпуск даже самых скромных размеров увеличит 
значение критерия оптимальности. Ясно, что наименьший уровень затрат воз-
можен лишь при строгом выполнении плановых заданий, т.е. при 
x
j
 
=
b
j.
Тем 
самым данная модель теряет смысл, так как в подобной задаче нечего искать. 
Оптимальный план известен: он задается числами 
b
j
. 
Однако это не значит, что при отсутствии нескольких способов производ-
ства одноименной продукции постановка задачи на минимум затрат бессмыс-
ленна. Нужно лишь задать результат с меньшей степенью подробности, нежели 
искомые величины: 
∑
∑
𝑐
𝑗
𝑠
𝑥
𝑗
𝑠
→ min
𝑟
𝑗
𝑠=1
𝑛
𝑗=1
; 
(2.16) 
∑
∑
𝑎
𝑖𝑗
𝑠
𝑥
𝑗
𝑠
≤ 𝑏
𝑖
𝑟
𝑗
𝑠=1
𝑛
𝑗=1
, (i = 1, 2,…,m); 
(2.17) 
∑
𝑥
𝑗
𝑠
≥ 𝑏
𝑗
𝑟
𝑗
𝑠=1
, (j = 1, 2,…,n); 
(2.18) 
𝑥
𝑗
𝑠
≥ 0
; (j = 1, 2,…,n); (s = 1, 2,…,
𝑟
𝑗
). 
(2.19) 
21

---

В модели (2.16) — (2.19) переменные 
x
j
s
детализированы и по видам про-
дукции 
j
и по способам производства 
s
, а плановые задания 
b
j 
лишь по продук-
ции. Поэтому оптимизация осуществляется подбором разных величин 
x
j
s 
в рам-
ках единой фиксированной величины 
b
j
, т.е. подбором сочетания различных 
технологий для выпуска данной 
j-
й продукции. 
Рассмотрим еще один подход, позволяющий ограничить решение снизу в 
задаче на минимум затрат. Обозначим в данном случае через 
p
j 
цены на про-
дукцию 
j
-го вида, а через 
P
— план по валовой продукции. Заменим детальные 
ограничения 
x
j
 

 b
j 
агрегированным ограничением
 
∑
𝑝
𝑗
𝑥
𝑗

𝑃
𝑛
𝑗=1
(если вернуться 
к первоначальному определению величин 
р
j
, то 
Р
будет не чем иным, как за-
планированным уровнем валового дохода от выпуска продукции). 
Тогда модель на минимум затрат, в случае когда каждый вид продукта 
производится лишь одним технологическим способом, запишется так: 
∑
𝑐
𝑗
𝑥
𝑗
→ min
𝑛
𝑗=1
; 
(2.20) 
∑
𝑎
𝑖𝑗
𝑥
𝑗
≤ 𝑏
𝑖
𝑛
𝑗=1
, (i = 1, 2,...,m); 
(2.21) 
∑
𝑝
𝑗
𝑥
𝑗

𝑃
𝑛
𝑗=1
; 
(2.22) 
x
j

0, (j = 1, 2,...,n). 
(2.23) 
Отметим одну важную особенность рассмотренных моделей (2.16) — 
(2.19) и (2.20) — (2.23). Ограничения на область допустимых решений (2.17) — 
(2.18) и (2.21) — (2.22) в принципе противоречивы: ограничения вида «

» по 
объему производства или валовому доходу могут потребовать расхода одного 
или нескольких ресурсов, превышающего их наличный запас, учитываемый в 
ограничениях вида «

».
Противоречивость рассматриваемых ограничений при решении задачи с 
конкретными значениями 
b
i
и 
b
j
может привести к тому, что область допусти-
мых решений окажется пустой, и оптимизационная задача будет неразрешимой.