Respublikasi oliy va

Ikkinchi ajoyib limit

n ^_^
Ushbu x  ^1 

_
¹ n ^




n
_{ } sonli ketma-ketlikni qaraymiz, bunda n-natural son.

 _

 ¹ n

Teorema. Umumiy hadi x_n  _1  _{n }

bo’lgan ketma-ketlik

n  

da 2 bilan 3 orasida

 

yotadigan limitga ega.

Isboti. Nyuton binomi formulasi

а  bⁿ  aⁿ  ⁿ a^n1b  ^{n(n 1)} a^n2b²  ^{n(n 1)(n  2)} a^n3b³  ... 



1 1 2 1 2  3

_ n(n 1)(n  2)...[n  (n 1)] _bn

1 2  3 ...  n

dan foydalanib ketma-ketlikni

x_n va

x_n1 hadlarini quyidagi ko’rinishda yozamiz:

 ¹ n ^{n 1 n(n 1)}

 ¹ 2

^{n(n 1)(n  2)}  ¹ 3

^{1 }  ^{ 1   }



^   ^

  ^{ ... }

 ⁿ 

1 n 1 2

 ⁿ 

1 2  3

 ⁿ 

^{n(n 1)(n  2)...[n  (n 1)]}  ¹ n

¹  ¹ 

¹  ¹  ² 

^  



 1  1 

^{1 }  ^



^{1 } ^{1 }  ^{ ... }



(17.4)

1 2  3  ...  n

_ ¹ _{1 } ¹ _{1 } ² 



 ⁿ 

 _ ^{n 1}

1 2 _

n _ 1 2  3 _

ⁿ  ⁿ 

1 2  3...n ^

_n 

_n ^...¹

_n ^,

    

^1 ^1^	1	  ^	1	 ^1^	1	 ^1^	2	 
1 2	n  1		1 2  3		n  1		n  1	

_{ 1 }n 1

^{xn1 } ^{1 } _{n  1} ^{ 1  1 }

 ... 

 

 ^{1 }1  ¹

_{1 }



²  

_ ^{n 1} _

^{1 }1 

¹ _{1 }

²   _ ⁿ 

 

^...¹ 

 

^...¹ 

1 2  3...n _ n  1_

n  1_{ } n  1_

1 2  3...(n  1) _ n  1_

n  1_{ } n  1_{ .}

k
x_n bilan

^xn1

ni taqqoslasak,

^xn1

had

x_n haddan bitta musbat qo’shiluvchiga ortiqligini

ko’ramiz.

^{1 } n  1

• 
  1  ^k
  

n

k  1,2,3..., n 1
bo’lgani uchun uchinchi haddan boshlab
x_n1 dagi

har bir qo’shiluvchi x_n dagi unga mos qo’shiluvchidan katta. Demak, istalgan n uchun

 ¹ n

x_n1 > x_n va

umumiy hadi x_n  _1  _{n }

bo’lgan ketma-ketlik monoton o’suvchi.

 

Endi berilgan ketma-ketlikni chegaralanganligini ko’rsatamiz. Istalgan k=1,2,3,… uchun

1  ^k  1

n
ekanini hisobga olib (17.4) formuladan

_n 
x  ^1 



¹ n

n




<1  1  ¹

1 2

_ 1

1 2  3
 ... 

1

1 2  3 ... n

tengsizlikni hosil qilamiz.

So’ngra

1 _

1 2  3

1 _, 1 _

2² 1 2  3  4

¹ , ...,

₂3

1 _

1 2  3 ... n

1

₂n1

ekanligini ta‘kidlab tengsizlikni

 ¹ n  ^{1 1 1 1} 

^{xn } ^{1 } _n  ^{<1 } ^{1 } ₂ ^ ₂₂ ^ ₂₃ ^{ ... } _2n1 ^{ ...}

   

ko’rinishda yozamiz. Qavsga olingan yig’indi birinchi hadi а=1 va maxraji q= ¹ bo’lgan

2

geometrik progressiyaning hadlari yig’indisini ifodalanganligi uchun cheksiz kamayuvchi

geometrik progressiyaning hadlari yig’indisini topish formulasi

S  ^a

1  q
ga asosan

 ¹ n ¹

^{xn } ^{1 } _n  ^{<1 } ₁ ^{ 1  2  3}

  _{1 }

2

tengsizlikka ega bo’lamiz. Ketma-ketlik monoton o’suvchi bo’lganligi sababli uning birinchi hadi

 ¹1

x₁  _1  _1  2 uning qolgan barcha hadlaridan kichik bo’ladi.

 

 ¹ n

 ¹ n

Demak, barcha n uchun

^{2 } ^{1 } 

n

 3 o’rinli, ya‘ni umumiy hadi

^{xn } ^{1 } _n 

bo’lgan

   

ketma-ketlik monoton o’suvchi va chegaralangan. Shu sababli u monoton chegaralangan ketma- ketlikning limiti mavjudligi haqidagi 16.1-teoremaga ko’ra chekli limitga ega. Bu limitni е harfi bilan belgilaymiz, ya‘ni


^lim^{1 }

n_

¹ n



n _

 e .

е-irratsional son. Keyinroq uni istalgan darajada aniqlik bilan hisoblash usuli ko’rsatiladi.

е  2,7182818284...


Teorema. ^1 



¹  х

х



funksiya

х   da е songa teng limitga ega:


^lim^{1 }

х_

¹ х



 ^e

х _
(17.5).

Isboti. 1)

х   deylik. U holda

n  x  n 1;

1 _ 1 _ 1 _,

1  ¹


 1  ¹

• 
  1  ¹ ,
  

^{1 }
_{1 }n1


_ 



^{1 
1}  x



^{1 }

n x

• 
  
  

¹ n



n  1

bo’ladi. Agar

х  , u holda


n x n  1 <sub>

 1 </sub>n1

ⁿ  

 ¹ x

^x  



n  1_

¹ n

n   va

^lim ^{1 } 

n _{ n }

^{ lim} ^{1 } 

х _{ x }

^{ lim} ^{1 }

n _



n  1_

yoki

 ¹ n  ¹ 

 ¹ x

 ¹ n1

_{1 }1

^lim ^{1 }

n _

 ^{1 }  ^

ⁿ   ⁿ 

^lim ^{1 } 

х _{ x }

^{ lim} ^{1 }

n _



n  1_

^{1 } 

 ⁿ 

e 1 
^lim ^{1 }



х _

¹ x



x _
 e 1
bundan
^lim ^{1 }



х _

¹ x



 ^е

x _
kelib chiqadi.

2) х  

deylik. Yangi t=-(x+1) yoki х=-(t+1) o’zgaruvchini kiritamiz.

t   da

х   va



^lim ^{1 
1} x


_ 


^lim ^{1 }
_{1 }(t 1)



 lim ^{ t}

(t 1)


 ^

х _{ x }

t  _

t  1_

t  _{ t  1}


 ^{t  1}t 1

_{ 1}t 1

 ¹t  ¹

^{ lim} 

t  _





t _

¹ x

^{ lim} ^{1 } 

t  _{ t }

^{ lim} ^{1 }

t  _

 <sup>1 

t</sup>  

 ^{ е 1  e .}

t _

Shunday qilib,
yuritiladi.

^lim ^{1 }  ^{ е}

х _{ x }

ekanini isbotladik. Bu limit ikkinchi ajoyib limit deb

Agar bu tenglikda

¹  

х
deb faraz qilinsa, u holda

х   da   0

(  0) va

1
lim 1   ^  е

 0

tenglikni hosil qilamiz. Bu ikkinchi ajoyib limitning yana bir ko’rinishi.


у ^1 



¹  x

x



funksiyaning grafigi 89-chizmada tasvirlangan.

Chizmadan ko’inib turibdiki bu funksiya (- 1,0) intervalda aniqlanmagan, ya‘ni 1  ^1 0 , x chunki 1  ^1 ^x^^1va x 1  0, x  0 . x x Izoh. Asosi е bo’lgan y  e^x ko’ursatkichli funksiya eksponental funksiya deb ataladi. Bu funksiya mexanikada(tebranishlar nazariyasida),

89-chizma.

elektrotexnikada va radiotexnikada, radioximiyada va hokazolarda turli hodisalarni o’rganishda katta rol o’ynaydi.

Izoh. Asosi е  2,7182818284... sondan iborat logarifmlar natural logarifmlar yoki Neper

logarifmlari deb ataladi va

og_e x

o’rniga

n x

deb yoziladi. Bir asosdan ikkinchi asosga o’tish

formulasi mumkin:
og

_{b } og_c b


a
og_c a
dan foydalanib o’nli va natural logarifmlar orasida bog’lanish o’rnatish

_{g x } n x

n10

_ 1

n10

n x  0,434294 n x

yoki

n x  n10 g x  2,302585g x .

14. misol.


^lim ^{1 }


n _
³ x

_{1 }n8



n _
^lim ^{1 }


_ 
n _

¹ n 

 <sup>1

n</sup>  

¹ 8





n _
^lim^{1 }


_ 
n_

¹ n



n _
^lim^{1 }



n_

¹ 8



n _

 e1  0⁸  e .

15. misol.

^lim ^{1 } 

x _{ x }

topilsin.